что означает разложить на множители
Что такое множитель и разложение на простые множители
Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.
Определение множителя
В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.
Определения множителя как компонента умножения
Сейчас немного расширим понятие множителя.
Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?
Пример 1
Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения 
. Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.
Пример 2
Рассмотрим теперь выражение: 
. Это выражение можно представить в виде произведения 
. Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).
Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.
Простые множители
Пример 1
Разложите число 65 на простые множители.
Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число 
. И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.
Пример 2
Разложите число 270 на простые множители.
Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — 
. Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: 
. Получившееся число опять делится на 3: 
. И снова число 15 делится на 3: 
. Получили простое число 5. Делим 
.
Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:
Разложение числа на простые множители в столбик.
Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: 
.
Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.
Разложение на множители. Примеры.
Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык. ) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x1= 0; x2= 1.
Или, то же самое, но для старшеньких):
Что, не подарок?) А вы читайте дальше, сами удивитесь, как всё просто. Ответ будет: x1= 1; x2= 10.
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Основные способы разложения на множители.
Вот они, самые популярные способы:
1. Вынесение общего множителя за скобки.
4. Разложение квадратного трёхчлена.
Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться. Вот по порядочку и начнём.)
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.
Все знают (я верю!)) правило:
Или, в более общем виде:
Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:
Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.
Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.
Разложить на множители:
Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:
А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:
Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:
Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.
Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак «+»! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!
Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.
В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками. Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:
При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.
Двигаемся дальше и усложняем задачу:
Разложить на множители:
Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:
Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х. Вот его и выносим:
А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:
Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:
То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:
При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.
Разложить на множители выражение:
Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е. Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету. Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же. Знакомьтесь:
2. Группировка.
Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:
Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:
Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.
Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:
3ах+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а-24)
Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:
Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:
Всё наше выражение получится:
Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3), во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3):
Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:
Повторим кратенько суть группировки.
Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.
Примеры.
Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких.
В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.
Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель. Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:
Пишем результат разложения в числитель дроби:
По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8). И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:
Пример с уравнением:
Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:
Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:
При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое. Стало быть:
С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):
Вот и нашли решение: x1= 0; x2= 1. Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.
Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)
Ну и, последний пример, для старшеньких):
Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.
Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:
Дальше всё, как в предыдущем примере:
Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.
Вот и окончательный ответ: x1= 1; x2= 10.
Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)
В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Разложение многочленов на множители с примерами решения
Содержание:
Разложение многочленов на множители
Разложение многочленов на множители — операция, об-I ратная умножению многочленов. Как вы уже знаете, решая разные задачи, иногда умножают два или более чисел, а иногда — раскладывают данное число на множители. Подобные задачи возникают и при преобразовании целых алгебраических выражений. В этой главе вы узнаете о:
Вынесение общего множителя за скобки
Вы уже умеете раскладывать на множители натуральные числа. Например,
На множители раскладывают и многочлены. Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену. Например, многочлен 
Один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим его.
Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. На основании распределительного закона умножения 
Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя: 
Чтобы убедиться, правильно ли разложен многочлен на множители, нужно выполнить умножение полученных множителей. Если всё верно, то в результате должен получиться данный многочлен.
Один и тот же многочлен можно разложить на множители по-разному. Например,
Как правило, стараются вынести за скобки такой общий множитель, чтобы в скобках осталось простейшее выражение. Поэтому чаще всего в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов данного многочлена или их модулей. Но не всегда. Все зависит от того, с какой целью раскладывают на множители многочлен.
Пусть, например, надо найти значение выражения 
при условии, когда 
Чтобы использовать условие, это упражнение можно решить так:
Здесь вынесено за скобки не 
, а 
тогда в скобках имеем выражение, значение которого известно из условия.
Пример:
Разложите на множители многочлен 
Решение:
или 
Пример:
Разложите на множители многочлен
Решение:
Пример:
Докажите, что число 
делится на 20.
Последнее произведение делится на 20, поэтому делится на 20 и данная сумма.
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
поэтому данное уравнение равносильно уравнению 
Произведение двух чисел равно нулю тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.
Ответ. Уравнение имеет два корня: 0 и 0,2.
Способ группировки
Разложим на множители многочлен 
Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель 
Вынесем из первой группы за скобки общий множитель а, из второй — общий множитель х, получим выражение 
Слагаемые этого выражения имеют общий множитель b + с, вынесем его за скобки, получим выражение
Указанные преобразования можно записать цепочкой:
Такой способ разложения многочленов на множители называют способом группировки.
Замечание. Раскладывая на множители представленный выше многочлен, можно сгруппировать его члены иначе:
Получили такой же результат.
Разложим на множители многочлен 
Записывать сумму а + с в виде 1 (а + с) необязательно, но сначала, чтобы не допускать ошибок, можно писать и так.
Чтобы воспользоваться способом группировки, иногда приходится один член данного многочлена представлять в виде суммы или разности одночленов. Чтобы разложить на множители трёхчлен 
• запишем одночлен 
Подобные преобразования также можно выполнять, используя тождества.
Пример:
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Ответ. 
Пример:
Решите уравнение: 
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители:
Корнем первого уравнения является у = 1,5, а второе уравнение корней не имеет, так как 
Квадрат двучлена
Решая различные задачи, часто приходится умножать двучлены вида 
Чтобы в таких случаях можно было сразу написать ответ, полезно запомнить тождества, которые называют формулами сокращённого умножения. Рассмотрим некоторые из них.
Умножим двучлен 
Следовательно,
Квадрат двучлена равен квадрату первого его члена плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена.
Доказанное равенство — тождество, его называют формулой квадрата двучлена. Пользуясь ею, можно сразу записать:
Промежуточные преобразования желательно выполнять устно, тем самым сокращается запись:
По формуле квадрата двучлена можно возводить в квадрат любые двучлены, в том числе 
Формулы квадрата двучлена используют и в «обратном направлении»:
Формулу 
часто называют формулой квадрата суммы двух выражений, 
— квадрата разности двух выражений.
Для положительных чисел а и b формулу
можно доказать геометрически, как показано на рисунке 44. Так её доказывали ещё древние греки. Ведь площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей квадратов 
а также прямоугольников ab и ab.
Существуют и другие формулы сокращённого умножения:
Пример:
Возведите в квадрат двучлен 
Решение:
Пример:
Упростите выражение 
Решение:
Пример:
Представьте в виде многочлена выражение:
Решение:
Пример:
Представьте выражение в виде степени двучлена:
Решение:
Разность квадратов
Умножим сумму переменных а и b на их разность.
Значит, 
Это равенство — тождество. Словами его читают так:
Произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений.
Пользуясь доказанной формулой, можно сразу записать:
Левую и правую части доказанной формулы можно поменять местами. Получим формулу разности квадратов двух выражений:
Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.
Пример:
Формула разности квадратов очень удобна для разложения многочленов на множители.
Для положительных чисел а и b формулу 
можно проиллюстрировать геометрически (рис. 46). Но это тождество верно не только для положительных чисел, но и для любых других чисел и выражений.
Истинность формулы разности квадратов следует из правила умножения многочленов, а это правило — из законов действий сложения и умножения. Законы сложения и умножения чисел — это своеобразные аксиомы, следствиями которых являются алгебраические тождества.
Пример:
Напишите разность квадратов и квадрат разности выражений 
Решение:
— разность квадратов; 
— квадрат разности данных выражений.
Пример:
Запишите в виде произведения двух двучленов выражение:
Решение:
Пример:
Представьте в виде двучлена выражение:
Решение:
.
Используя формулу разности квадратов, промежуточные вычисления и преобразования можно выполнять устно, а записывать лишь конечный результат.
Использование формул сокращённого умножения
С помощью формул сокращённого умножения некоторые многочлены можно разложить на множители. Например, двучлен 
можно представить в виде произведения по формуле разности квадратов:
Примеры:
Трёхчлены 
раскладывают на множители по формуле квадрата двучлена:
Примеры:
Полученные, выражения можно разложить на множители и записать так: 
Многочлен 
можно разложить на множители по формуле куба двучлена:
Раскладывать на множители можно не только многочлены, но и некоторые другие целые выражения.
Например, 
— не многочлены, но и их можно представить в виде произведений многочленов:
Пример:
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
Значит, данное уравнение равносильно такому:
Пример:
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Разность и сумма кубов
Выполним умножение многочленов 
Следовательно, при любых значениях а и b
Трёхчлен 
называют неполным квадратом суммы выражений а и b (от 
он отличается только коэффициентом среднего члена). Поэтому доказанную формулу словами читают так:
разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Выполним умножение многочленов 
Трёхчлен 
называют неполным квадратом разности выражений а и b. Поэтому полученную формулу читаю так:
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
С помощью доказанных формул можно раскладывать на множители многочлены, являющиеся разностями или суммами кубов.
Примеры:
Формулу «разность кубов» для положительных значений а и b можно проиллюстрировать геометрически, как показано на рисунке 49.
Можно доказать, что для каждого натурального значения n истинна формула:
Формулы «разность квадратов» и «разность кубов» — простейшие случаи этой общей формулы.
Пример:
Разложите на множители двучлен: 
Решение:
Пример:
Найдите произведение многочленов: 
•
Решение:
Первый способ. По формуле суммы кубов: 
Второй способ. По правилу умножения многочленов:
Применение разных способов разложения многочленов на множители
Чтобы разложить многочлен на множители, иногда приходится применять несколько способов.
Пример:
Разложите на множители многочлен
Решение:
Сначала за скобки вынесен общий множитель а, потом выражение в скобках разложено на множители по формуле разности квадратов.
Пример:
Разложите на множители выражение
Решение:
Здесь применены способ группировки, вынесение общего множителя за скобки и формула суммы кубов.
Чтобы разложить на множители более сложные многочлены, приходится применять несколько известных способов или искусственные приёмы.
В этом случае можно использовать такое правило-ориентир:
Иногда удаётся разложить многочлен на множители, прибавляя и вычитая из него одно и то же выражение.
Пример:
Разложите на множители двучлен 
Решение:
Прибавим к данному двучлену выражение 
Пример:
Разложите на множители выражение 
Решение:
Пример:
Представьте многочлен 
в виде разности квадратов двух многочленов.
Решение:
Пример:
Докажите, что число 
делится на 31.
Последнее произведение делится на 31, поэтому делится на 31 и равное ему данное числовое выражение.
Исторические сведения:
Наибольший вклад в развитие алгебраической символики внёс известный французский математик Ф. Виет, которого называли «отцом алгебры ». Он часто использовал буквенные обозначения. Вместо 
писал соответственно N,Q,C — первые буквы латинских слов Numerus (число), Quadratus (квадрат), Cubus (куб). Уравнение 
Ф. Виет записывал так:
Степени чисел продолжительное время не имели специальных обозначений, четвёртую степень числа а записывали в виде произведения аааа. Позднее такое произведение начали записывать 
. Записи 
предложил Р. Декарт.
Формулы сокращённого умножения древним китайским и греческим математикам были известны за много веков до начала нашей эры. Записывали их тогда не с помощью букв, а словами и доказывали геометрически (только для положительных чисел). Пользуясь рисунком, объясняли, что для любых чисел а и b площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и b к двух прямоугольников со сторонами а, b. Итак, 
Подобным способом обосновали и другие равенства, которые. мы теперь называем формулами сокращённого умножения.
В учебнике рассмотрены простейшие формулы сокращённого умножения.
Формулы квадрата и куба двучлена — простейшие случаи общей формулы бинома Ньютона:
Напомню:
Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену.
Простейшие способы разложения многочленов на множители:
Примеры:
Формулы сокращённого умножения
Разложение многочленов на множители — это преобразование, обратное умножению многочленов. Схематично эти две операции можно изобразить, например, так.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.