Задача 2 Докажите, что высота, биссектриса и медиана, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают. Доказательство: Из предыдущей задачи мы имеем, что CD это биссектриса в равнобедренном треугольнике АВС, и мы доказали, что треугольники ACD и BCD равны. Из равенства следует, что угол ADC = CDB но они но они являются смежными, следовательно, их сумма равна 180°, отсюда угол ADC = CDB = 90°, что показывает, что CD это высота. Из равенства двух треугольников мы имеем, что AD = BD, т. e. CD является медианой.
Задача 3 Докажите, что углы в основании любого равнобедренного треугольника равны. Доказательство: Мы вновь используем первую задачу и то, что треугольники ACD и BCD равны. Углы в основании равнобедренного треугольника равны, потому что они являются соответствующими углами в равных треугольниках.
Задача 4 Вычислите периметр равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника ADC равен 18 cм, и CD = 6 cм и AD = BD (fig.5) Доказательство: Периметр треугольника ADC = AC + CD + AD = 18 AC + 6 + AD = 18 AC + AD = 12 Потому что AC = BC (треугольники являются равнобедренными) и AD = DB, следовательно AC + AD = DB +BC = 12 Периметр треугольника ABC = AB + AC + BC = AD + DB + AC + BC = 12 + 12 = 24 cм.
Задача 5 Докажите, что прямая линия, которая вырезает равные отрезки на сторонах угла, является перпендикулярной к биссектрисе этого угла. Доказательство:
Пусть прямая формирует на сторонах угла АОВ два равных отрезка OC = OD. Тогда треугольник OCD является равнобедренным ОКР и OF является биссектрисой к основанию. В соответствии с задачей, 2 OF является высотой, т. е. OF перпендикулярна к α
Для четырехугольника ABCD мы знаем, что AO = OC и BO = OD. Тогда треугольники AOD и BOC также равны (по признаку «сторона-угол-сторона», AO = OC; BO = OD и углы DOA = BOC – вершина), поэтому AD = BC. Аналогично треугольники AOB и DOC равны, откуда AB = CD
Задача 7 Докажите, что если треугольник ABC равен A1B1C1 и для всех точек M и M1 на сторонах AB и A1B1 верно, что AM = A1M1 CM = C1M1 и угол BMC = B1M1C1 Доказательство: равен треугольник
откуда 