для чего используется формула виллиса

16.10.202324.06.2023 admin 0 Comments

Для чего используется формула виллиса

Сложные зубчатые механизмы

В таблице 15.1 приведены структурные схемы типовых планетарных механизмов, а также диапазоны рекомендуемых передаточных отношений и ориентировочные значения КПД при этих передаточных отношениях.

Типовые планетарные механизмы

Кинематика рядного зубчатого механизма.

Рядным зубчатым механизмом называется сложный зубчатый механизм с неподвижными осями колес, образованный последовательным соединением нескольких простых зубчатых механизмов. Рассмотрим кинематику рядного механизма составленного из двух зубчатых передач: одной внешнего зацепления и одной внутреннего зацепления. Схема механизма изображена на рис. 15.1.

№	Структурная схема механизма

Таким образом при графическом кине матическом анализе угловая скорость звена равна произведению тангенса угла наклона прямой распределения лиейных скоростей на отношение масштабов длин и скоростей.

Аналитическое исследование кинематики рядного механизма

Из основной теоремы зацепления, для первой пары зубчатых колес с внешним зацеплением, можно записать

для второй пары зубчатых колес с внутренним зацеплением

Передаточное отношение механизма в целом будет равно:

Передаточное отношение сложного рядного зубчатого, образованного из нескольких соединенных последовательно простых зубчатых механизмов равно произведению передаточных отношений этих механизмов.

Графическое исследование кинематики рядного механизма

Передаточное отношение, рассматриваемого рядного зубчатого механизма, будет равно

Формула Виллиса выводится на основании основной теоремы зацепления и устанавливает соотношение между угловыми скоростями зубчатых колес в планетарном механизме. Рассмотрим простейший планетарный механизм с одним внешним зацеплением (см. рис. 15.3). Число подвижностей в этом механизме равното есть для получения определенности движения звеньев механизма необходимо сообщить независимые движения двум его звеньям. Рассмотрим движение звеньев механизма относительно стойки и относительно водила. Угловые скорости звеньев в каждом из рассматриваемых движений приведены в таблице 15.2.

В движении звеньев относительно водила угловые скорости звеньев равны угловым скоростям в движении относительно стойки минус угловая скорость водила. Если в движении относительно стойки ось зубчатого колеса 2 подвижна, то в движении относительно водила оси обоих зубчатых колес неподвижны. Поэтому к движению относительно водила можно применить основную теорему зацепления.

Движение механизма относительно стойки

Движение механизма относительно водила

То есть можно записать выражение, которое называется формулой Виллиса для планетарных механизмов

Кинематическое исследование типовых планетарных механизмов графическим и аналитическим методами.

1. Двухрядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.

Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.4 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1

для внутреннего зацепления колес z4 и z3

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим

Графическое определение передаточного отношения.

В системе координат ri0V построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев. Для этого из точки А с ординатой r1 в выбранном произвольном масштабе m V, мм/мЧс-1 отложим отрезок a a’. Через конец этого отрезка и начало координат проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси ri. Эта прямая образует с осью ri угол y 1. Так как в точке с скорости звеньев 2 и 3 равны между собой и равны нулю, то соединяя точку с с прямой с точкой a’, получим линию распределения скоростей для звена 2. Так как точка принадлежит звеньям 2 и h, то ее скорость определяется по лучу с a’ для радиуса равного rB = (r1+r2), что в масштабе m V, мм/мЧс-1 соответствует отрезку bb’. Соединяя точку b’ с началом координат прямой, найдем линию распределения скоростей для водила. Эта линия образует с осью ri угол y h. Передаточное отношение планетарного механизма определенное по данным графическим построениям можно записать так

2. Однорядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.

Аналитическое определение передаточного отношения.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1 :

для внутреннего зацепления колес z2 и z3:

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:

Графическое определение передаточного отношения.

3. Двухрядный механизм с двумя внешними зацеплениями.

Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.6 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1 :

для внешнего зацепления колес z4 и z3:

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:

Графическое определение передаточного отношения.

4. Двухрядный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.6 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внутреннего зацепления колес z2 и z1 :

для внутреннего зацепления колес z4 и z3:

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:

Графическое определение передаточного отношения.

Кинематическое исследование пространственных планетарных механизмов методом планов угловых скоростей.

Рассмотрим этот метод исследования на примере планетарного механизма конического дифференциала заднего моста автомобиля. На рис. 15.8 изображена схема механизма и планы угловых скоростей.

Планы угловых скоростей строятся в соответствии с векторными уравнениями:

Вектора относительных угловых скоростей направлены по осям мгновенного относительного вращения:

Вектора абсолютных угловых скоростей направлены по осям кинематических пар, которые образуют звенья со стойкой:

Рассмотрим три режима движения автомобиля:

Для того, чтобы в условиях низкого сцепления колес с грунтом, уменьшить опасность их пробуксовывания в дифференциалы автомобилей высокой проходимости включают элементы трения или блокировки.

Источник

Для чего используется формула виллиса

Сложными зубчатыми механизмами называются механизмы с зубчатыми передачами с числом зубчатых колес больше двух. Это могут быть механизмы с оригинальными структурными схемами или механизмы, образованные последовательным и (или) параллельным соединением простейших типовых зубчатых механизмов.
Механизмы, в которых кинематические цепи образуют один или несколько замкнутых контуров и в которых входной поток механической мощности в процессе передачи и преобразования делится на несколько потоков, а затем суммируется на выходном звене, называются многопоточными механизмами. Распределение передаваемых усилий по нескольким кинематическим парам уменьшает нагрузку на элементы пар и позволяет существенно уменьшать габаритные размеры и массу механизмов. Многозонный контакт звеньев механизма существенно увеличивает жесткость механизма, а за счет осреднения ошибок и зазоров, уменьшает мертвый ход и кинематическую погрешность механизма. Однако, за счет образования в структуре механизма внутренних контуров, число избыточных или пассивных связей в механизме увеличивается. Поэтому при изготовлении и сборке механизма необходимо либо повышать точность деталей, либо увеличивать зазоры в кинематических парах.
Сложные зубчатые механизмы, в которых ось хотя бы одного колеса подвижна, называются планетарными механизмами. К типовым планетарным механизмам относятся:

Источник

Общие сведения. Уравнение Виллиса

Рис. 34. Схема простейшей планетарной передачи:

Основным параметром, определяющим свойства планетарного ряда, является внутреннее передаточное отношение u_1-2 частоты вращения центрального колеса ω₁ к частоте вращения эпицикла ω₂. Для этого всему планетарному механизму мысленно сообщают вращение с угловой скоростью, равной по направлению и значению угловой скорости ω₃ водила 3 (приведённый планетарный механизм). В этом случае планетарный механизм представляет собой обычную зубчатую передачу с неподвижными осями, и внутреннее передаточное отношение u_1-2 будет равно:

, (4.1)

Уравнение (4.1) может быть записано в другом виде:

. (4.2)

Для схемы, изображённой на рис. 34, эпицикл, как правило, закреплён неподвижно. Тогда, согласно уравнению (4.1), передаточное отношение u_1-3 в направлении силового потока от центрального колеса 1 к водилу 3 будет равно:

ω₂ = 0, , ,

Для передачи силового потока в направлении от водила 3 к центральному колесу 1 передаточное отношение u_3-1 будет равно:

Помимо широких кинематических возможностей (большие передаточные числа) планетарная передача обладает следующими преимуществами:

— компактность (единая ось вращения всех элементов передачи);

— возможность передачи бóльших крутящих моментов в сравнении с другими зубчатыми передачами, так как крутящий момент передаётся несколькими симметрично расположенными сателлитами, что позволяет значительно снизить контактные напряжения на поверхностях зубьев;

— расположение элементов планетарного ряда позволяет достаточно просто организовать управление работой ряда (имеется в виду оборудование ленточными тормозами и блокировочными муфтами);

— работа с мéньшим шумом, чем обычные зубчатые передачи (повышенная плавность внутреннего зацепления, меньшие размеры колёс, замыкание сил в механизме и передача меньших сил на корпус).

Основными недостатками планетарных передач являются:

— значительное снижение КПД передачи при увеличении передаточного отношения;

— высокие требования к точности изготовления и монтажа.

4.2. Определение чисел зубьев зубчатых колёс планетарного ряда

Вследствие особенностей планетарных механизмов числа зубьев колёс планетарного ряда определяют, исходя из условий соосности, сборки и соседства.

Условие соосности заключается в обеспечении соосности центрального колеса, эпицикла и водила. Исходя из геометрических соотношений планетарного ряда, изображённого на рис. 4.1, условие соосности:

, , откуда

. (4.3)

Из формулы (4.3) видно, что разность чисел зубьев эпицикла и центрального колеса должна быть кратна двум. Следовательно, числа зубьев z₁ и z₂ могут быть либо чётными, либо нечётными. Случай, когда центральное колесо и эпицикл имеют чётное и нечётное (или наоборот) число зубьев, невозможен.

Рис. 35. Схема к определению условия сборки планетарного механизма

Пусть при сборке простейшего планетарного механизма с одновенцовыми сателлитами, изображённого на рис. 35, эпицикл неподвижен. При установке одного сателлита центральное колесо займёт определённое положение. Для установки второго сателлита необходимо повернуть водило на некоторый угол φ_в, который будет равен отношению:

, (4.4)

Второй сателлит В займёт такое же положение, какое до этого занимал сателлит А. Это означает, что взаимное расположение зубьев центрального колеса и эпицикла останется прежним, и центральное колесо должно повернуться на целое число зубьев, то есть на некоторый угол φ_цк, который будет равен:

, (4.5)

Воспользуемся уравнением кинематической связи планетарного механизма при остановленном эпицикле:

, .

Так как и , то .

Подставив выражения для углов φ_цк и φ_в, получим:

, откуда . (4.6)

Таким образом, условие сборки простейшего планетарного механизма с одновенцовыми сателлитами заключается в том, что сумма чисел зубьев центрального колеса и эпицикла должна быть кратна числу сателлитов.

Рис. 36. Схема к определению условия соседства

Условие соседства исключает задевание зубьев сателлитов друг за друга. Рассмотрим два максимально сближенных сателлита (рис. 36). Из рисунка видно, что минимальное расстояние между центрами осей сателлитов О₁ и О₂ будет равно сумме двух половин делительных диаметров d_ст сателлитов и некоторого расстояния в 3m, учитывающего высоту головки зуба равной m, и считая зазор между зубьями соседних сателлитов равным m:

. (4.7)

Исходя из геометрических построений:

, , = .

≥ .

С учётом условия соосности (z₂ – z₁ = 2z₄, откуда ) окончательно получим:

. (4.8)

Типы планетарных механизмов

Планетарный механизм, состоящий из одного центрального колеса, одного водила и одного эпицикла, называют планетарным рядом. Планетарный ряд (механизм), все три основных звена (малое центральное колесо, эпицикл и водило) которого подвижны, называют дифференциалом.

Рис. 37. Схема дифференциального механизма автомобиля:

Дифференциал автомобиля является наиболее известным планетарным рядом (рис. 37). Отличительной чертой дифференциала является то, что он имеет центральные колёса одинакового размера, поэтому внутреннее передаточное отношение этого механизма равно единице. При остановке водила центральные колёса вращаются в разные стороны, поэтому передаточное отношение будет со знаком «–» (u_1-1 = –1).

Рис. 38. Схемы планетарных рядов:

В агрегатах мобильных машин наибольшее распространение получили так называемые плоские или простые планетарные механизмы, то есть такие, в которых все звенья вращаются в одной или параллельных плоскостях, а оси всех звеньев совпадают или параллельны друг другу и главной оси симметрии всего механизма. Плоские планетарные механизмы выполняют с одновенцовыми сателлитами (рис. 38, г), с двухвенцовыми сателлитами (рис. 38, а, в, д) и с парными сателлитами (рис. 38, б).

Если остановить водило любого планетарного механизма, то он предстанет в виде зубчатого механизма с неподвижными осями всех зубчатых колёс.

Свойства планетарного механизма

Свойства планетарного механизма определяют, исходя из величины внутреннего передаточного отношения, значение которого постоянно, и общего уравнения кинематической связи (4.2):

— свойство блокировки планетарного ряда: если угловые скорости двух основных звеньев планетарного ряда равны, то и угловая скорость третьего звена будет равна угловой скорости этих двух звеньев.

, и .

Если установить блокировочную муфту между любыми двумя основными звеньями планетарного ряда (например, между малым центральным колесом и эпициклом, рис. 39), то при её включении планетарный ряд будет заблокирован и его внутреннее передаточное отношение будет равно единице.

Рис. 39. Схема планетарного ряда с блокировочной муфтой:

Рассмотрим это свойство на примере простейшего планетарного ряда.

На основании уравнения (4.3) можно записать уравнение кинематической связи в общем виде:

, или , (4.9)

Рис. 40. Схема простейшего планетарного ряда с различным включением:

Если необходимо составить уравнение кинематической связи в направлении силового потока, например, от водила 3 к малому центральному колесу 1 (рис. 40, а), то, согласно уравнению (4.9), u_pq → u_3-1, p → 3, q → 1, значит, r → 2. В этом случае уравнение кинематической связи примет вид:

, , .