для чего матрица якоби
Магия тензорной алгебры: Часть 3 — Криволинейные координаты
Введение
Читая отзывы к своим статьям, понял, что я излишне перегрузил читателя теоретическими вводными. Прошу за это прощения, признаться честно, я сам далек от формальной математики.
Однако, тензорное исчисление пестрит понятиями, многие из которых требуется вводить формально. Поэтому третья статься цикла тоже будет посвящена сухой теории. Тем не менее, я обещаю, что в следующей работе приступлю к тому, к чему сам давно хотел — к описанию практической ценности тензорного подхода. На примете имеется интересная задача, большая часть которой в моей голове уже разобрана. Тензорное исчисление для меня не праздный интерес, а способ обработать некоторые из своих теоретических и практических соображений в области механики. Так что практика по полной программе ещё предстоит.
А пока что рассмотрим некоторые теоретические основы. Добро пожаловать под кат.
1. Матрица Якоби и локальная метрика. «Жонглирование» индексами
Те системы координат, что мы рассматривали до сих пор были косоугольными. Но их оси были прямыми линиями. Однако, крайне часто приходится работать в пространстве, координатные линии которого — кривые. Такая система координат называется криволинейной.
Простейший жизненный пример криволинейной системы координат — географические координаты 
— широта, долгота и высота над уровнем моря, по которой определяется положение объектов вблизи поверхности Земли. Криволинейные координаты широко применяются в астрономии. В механике примером таких координат могут служить обобщенные координаты механической системы, однозначно определяющие её положение в пространстве с учетом геометрии наложенных на систему связей. На этом и строится аналитическая механика.
Рис. 1. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве
Рассмотрим криволинейные координаты, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (рисунок 1). Пусть положение точки задается в этих координатах вектором
и декартовы координаты точки связаны с (1) соотношением
или, в компонентной форме
Рассмотрим частную производную . Результат такого дифференцирования — это вектор, направленный по касательной к координатной линии . Дифференцируя (2) по всем криволинейным координатам получим тройку векторов
Эти векторы задают базис так называемого касательного пространства. И в отличие от базиса в косоугольной системе координат, модуль и направление этих векторов будут изменятся при переходе от одной точки к другой. Мы получаем переменный базис, зависящий от положения в пространстве, заданного вектором (1). Такой базис называется локальным
Векторы (4) собирают в матрицу
которая называется матрицей Якоби, и по сути определяется как производная от одного вектора по другому вектору. В нашем случае
Легко догадаться, что если функция (2) линейна относительно компонент вектора , то её можно выразить матричным соотношением
то мы рассматриваем косоугольную систему координат, и матрица Якоби будет равна матрице преобразования от косоугольных координат к декартовым
Теперь, любой вектор, заданный в пространстве (тензор ранга (1, 0)) можно представить через его контравариантные компоненты в криволинейной системе координат
Однако, компоненты вектора, из-за переменного базиса, будут зависеть от положения в пространстве точки приложения вектора. Кроме того, для того чтобы представление (6) существовало, надо чтобы векторы, составляющие базис были не компланарны. Из курса векторной алгебры нам известно, что векторы некомпланарны, если их смешанное произведение отлично от нуля. Отсюда возникает условие, которому должен удовлетворять определитель матрицы Якоби
Данный определитель как раз определяет смешанное произведение векторов базиса.
Теперь вычислим ковариантные компоненты вектора . Для этого, в самой первой статье цикла, мы умножали вектор скалярно на соответствующий вектор базиса
В той же, первой статье, мы определили, что ковариантные компоненты вектора связаны с контравариантными через метрический тензор
Сравнивая два последних выражения мы получаем определение метрического тензора в криволинейных координатах
которое можно представить в матричной форме
Эту связь можно представить и в тензорной форме, но для этого придется ввести явно метрику для декартовых координат
Тогда, преобразование декартовой метрики в криволинейную будет выглядеть так
Выражение (8) вводит метрический тензор для криволинейных координат. Этот тензор зависит от положения точки в пространстве, поэтому говорят что он задан локально или определяет локальную метрику
Определившись с метрикой, мы можем записать правила преобразования контравариантных координат в ковариантные
и ковариантных координат в контравариантные
В тензорном исчислении операции опускания (9) и поднятия (10) индексов называют «жонглированием» индексами.
Выписав соотношения (9) и (10) мы подразумевали, что матрицы и взаимно обратимы. Это возможно лишь в том случае, если
Данное условие выполняется для криволинейных координат, если матрица Якоби не вырождена, и это непосредственно следует из (8), так как
то есть условие (7) выполняемое для всех точек пространства — достаточное условие невырожденности локальной метрики.
Рассмотрение вырожденнных метрик, это отдельный и сложный вопрос, поэтому мы ограничимся метриками, в которых матрица метрического тензора обратима, то есть выполняется условие
2. Взаимный базис
Введем векторы , получаемые из векторов исходного базиса путем поднятия индекса
Теперь возьмем и умножим (11) скалярно на вектор
но, мы знаем, что — метрический тензор, поэтому, приходим к уравнению
Если мы возьмем, например, вектор , то в силу (12) он перпендикулярен векторам и (его скалярное произведение с ними равно нулю), а скалярное произведение этого вектора на — равно единице
Дальше возьмем и умножим (11) скалярно на
и в силу (12) это дает контравариантный метрический тензор
Система векторов тоже образует базис, который называют взаимным или сопряженным с базисом .
Снова рассмотрим вектор . Из соотношений (10) и (11) следует цепочка преобразований
Умножим (13) скалярно на
приходим к заключению, что любой вектор может быть разложен как по базису — тогда его компоненты будут контравариантные, так и по базису — компоненты будут ковариантными
При этом, ковариантные компоненты — это скалярные произведение вектора на векторы базиса , а контравариантные компоненты — скалярные произведения вектора на векторы базиса
что ещё раз иллюстрирует взаимность этих базисов.
Тут надо отметить, что векторы базиса получаются естественным путем — они касательны соответствующим координатным линиям и им можно приписать геометрический смысл. Что касается базиса , то его векторы не направлены по касательной координатным линиям, а перпендикулярны парам векторов касательного базиса. Такой базис иногда принято называть неголономным
3. Преобразование криволинейных координат. Формальное определение ковариантных и контравариантных компонент
Допустим, что мы работаем в криволинейной система координат, определенной вектором . Перейдем к другой системе координат, положение точек которой определяется вектором , таким, что преобразование от старой системы координат к новой определяется уравнениями
Будем считать преобразование (16) обратимым, то есть допустим существование функции
Для этого требуется, чтобы определитель матрицы Якоби
был отличен от нуля
Тогда существует матрица , обратная матрице (18), такая, что
Матрица является матрицей Якоби для преобразования (17). Тогда можно вычислить векторы нового базиса
Получаем связь между старым базисом и новым
Разложим вектор в новом базисе
и используя соотношение (19), напишем
С учетом того, что векторы базиса линейно независимы, приравниваем коэффициенты при них в (21)
Теперь умножим обе части (21) на
То есть, получаем формулу обратного преобразования контравариантных компонент
Контравариантные компоненты вектора преобразуются оператором, обратным оператору преобразования базиса
Действительно, чтобы получить векторы нового базиса, мы использовали матрицу по формуле (19). Чтобы получить контравариантные компоненты заданного в новом базисе вектора мы используем матрицу
А теперь посмотрим, как преобразуется вектор, заданный своими ковариантными компонентами
Ковариантные компоненты вектора преобразуются тем же оператором, которым осуществляется преобразование базиса
Тензор ранга (1,0) преобразуется оператором обратным, используемому при преобразовании базиса, а тензор ранга (0,1) преобразуется тем же самым оператором, что используется при преобразовании базиса.
4. Ковариантная производная. Символы Кристоффеля 2-го рода
Предположим, что мы хотим продифференцировать вектор, заданный произвольными координатам по какой-то из координат. Что мы должны сделать? Давайте попробуем выполнить эту операцию
На каком основании мы выписали производную от базисного вектора? А на том основании, что базис в криволинейных координатах зависит от них, а значит его производная от координаты отлична от нуля. Ну и ладно, эта производная тоже будет вектором, а значит её можно разложить по локальному базису, например вот так
Найдем коэффициенты разложения в (25). Для этого, возьмем ковариантный метрический тензор и продифференцируем его по указанной координате
Здесь очевидно присутствие компонент метрического тензора, поэтому выполняем замену
Прежде чем начать работать с (27), скажем, что искомые коэффициенты разложения симметричны относительно нижних индексов, так как проведя прямое дифференцирования базисного вектора приходим к выражению
откуда, в силу непрерывности рассматриваемых функций, заключаем, что
Теперь, в (27) переставим индексы i и k
А теперь, переставим в (27) индексы j и k
Теперь сложим (29) и (30) учтя при этом симметричность (28)
Вычитаем (27) из (31), снова учитывая (28)
Умножаем (32) на , и получаем окончательно
Выражение (33) определяет так называемый символ Кристоффеля 2-го рода. Тогда
Выражение, стоящее в скобках в (34) называется ковариантной производной контравариантных компонент вектора
Исходя из (35) мы должны понимать, что пытаясь дифференцировать по криволинейной координате, мы обязаны учитывать зависимость базиса от координат. Если метрика не зависит от положения точки приложения вектора в пространстве, то (35) превращается в частную частную производную, ибо все символы Кристоффеля равны будут нулю, из-за того что метрический тензор не зависит от координат. В любой косоугольной системе координат, и в их частном случае — декартовых координатах, символы Кристоффеля, согласно (33) равны нулю. А значит, согласно (35) ковариантрая производная от вектора по координате будет совпадать с его частной производной по этой координате, к чему мы приучены вобщем-то давно. Но если бы (33) был тензором, то он, будучи равен нулю, остался бы нулевым в любой другой системе координат. Но в криволинейных координатах (33) нулю не равны. А значит символы Кристоффеля не являются тензором. При преобразовании системы координат меняются компоненты, но не сущность тензора. Нулевой тензор должен быть таковым в любой системе координат.
Заключение
Первичные теоретические основы разобраны. Со следующей статьи мы уйдем в практику использования тензорного исчисления для решения конкретных задач. Спасибо Вам за оказанное мне внимание и доверие.
Русские Блоги
Матрица Якоби и матрица Гессе, метод оптимизации LM
1. Введение
2. Несколько математических понятий
1) Градиент (первая производная)
Рассмотрим гору высотой f (x1, x2) в точке (x1, x2). Тогда направление градиента в определенной точке является самым крутым направлением в этой точке, и величина градиента говорит нам, насколько крутым является градиент. Обратите внимание, что градиент также может сообщить нам скорость изменения в других направлениях, которые не находятся в самом быстро меняющемся направлении (в двумерном случае круг, наклоненный в соответствии с направлением градиента, проецируется в эллипс на плоскости). Для скалярной функции с n переменными, то есть функция вводит n-мерный вектор и выводит значение, градиент может быть определен как:
2) Матрица Гессе (вторая производная)
Матрица Гессе часто используетсяЗадача крупномасштабной оптимизации, решенная методом Ньютона(Представлено позже), основные формы следующие:
3) матрица Якоби
3. Метод оптимизации
1) Gradient Descent
среди них,
На k-й итерации мы выбираем направление движения.При наискорейшем спуске направление движения устанавливается на отрицательное направление градиента.
Это k-я итерация, которая использует метод линейного поиска для выбора расстояния для перемещения. Коэффициент расстояния для каждого перемещения может быть одинаковым или различным. Иногда мы называем это скоростью обучения. Математически расстояние перемещения можно найти с помощью линейного поиска, чтобы сделать производную равной нулю, чтобы найти минимальное значение в этом направлении, но в реальном процессе программирования стоимость такого расчета слишком велика, мы обычно можем установить ее на константу. Рассмотрим функцию с тремя переменными
, Рассчитайте градиент, чтобы получить
. Установите скорость обучения = 1, код алгоритма следующий:
Метод самого крутого градиента дает локальное оптимальное решение. Если целевая функция представляет собой задачу выпуклой оптимизации, то локальное оптимальное решение является глобальным оптимальным решением. Эффект идеальной оптимизации показан на рисунке ниже. Стоит отметить, что направление движения на каждой итерации Оба они перпендикулярны линии контура начальной точки:
Следует отметить, что в некоторых случаях существует способ наискорейшего спуска.Пилообразный(Зигзаг) замедлит скорость схождения:
Грубо говоря, в квадратичной функции на форму эллипсоида влияет число обусловленности матрицы Гессе. Направление минимального и максимального собственных значений матрицы, соответствующих большой оси и малой оси, обратно пропорционально квадратному корню из собственного значения. Чем больше разница между максимальным собственным значением и минимальным собственным значением, тем более плоский эллипсоид, оптимизационный путь требует большого обходного пути, а эффективность вычислений очень низкая.
2) Newton’s method
В методе наискорейшего спуска мы видим, что метод в основном использует локальный характер целевой функции, которая имеет определенную «слепоту». Закон Ньютона заключается в использовании локальной информации о частных производных первого и второго порядка для определения формы всей целевой функции, а затем получения глобального минимального значения приближенной функции, а затем установки текущего минимального значения на минимальное значение приближенной функции. По сравнению с методом наискорейшего спуска, метод Ньютона обладает определенной предсказуемостью общей ситуации, а также лучше свойства сходимости. Основной процесс вывода метода Ньютона выглядит следующим образом:
против 1)Задача оптимизации та же, код метода Ньютона следующий:
В приведенном выше примере, поскольку целевая функция является выпуклой квадратичной функцией, разложение Тейлора равно исходной функции, поэтому оптимальное решение может быть найдено за один проход.
Основные проблемы метода Ньютона:
3) Levenberg–Marquardt Algorithm
Алгоритм Левенберга-Марквардта может сочетать преимущества двух вышеупомянутых методов оптимизации и устранять недостатки обоих. В отличие от метода линейного поиска, LMA относится к «методу доверительной области». Фактически, метод Ньютона также можно рассматривать как метод доверительной области, который использует локальную информацию для аппроксимации функции и получения локального минимума. ценность. Так называемый метод доверительной области заключается в том, чтобы начать с начальной точки, сначала принять надежное максимальное смещение s (в методе Ньютона s равно бесконечности), а затем найти целевую функцию в области с центром в текущей точке и s как радиус Наилучшая точка приближенной функции (квадратичной) для определения истинного смещения. После того, как смещение получено, значение целевой функции вычисляется снова. Если это приводит к тому, что уменьшение значения целевой функции удовлетворяет определенному условию, то смещение является надежным и итеративно вычисляется в соответствии с этим правилом; если оно не может сделать значение целевой функции Если снижение удовлетворяет определенным условиям, область доверительного региона должна быть сокращена, а решение должно быть решено заново.
LMA была впервые предложена для решения задачи оптимизации аппроксимации кривой наименьших квадратов. Для случайно инициализированного известного параметра бета полученное целевое значение будет следующим:
Аппроксимируйте матрицу Якоби первого порядка на функции подобранной кривой:
Затем выведите информацию об окружающей S-функции:
Какое смещение позволяет получить минимальное значение S-функции? Через понятие геометрии, когда остаточная
Когда перпендикулярно пространству пролета матрицы J, S является наименьшим (почему? См.Предыдущий блогПоследняя часть)
Мы немного изменим эту формулу и добавим коэффициент демпфирования, чтобы получить:
Это метод Левенберга-Марквардта. Этот метод вычисляет только частную производную первого порядка, и это не матрица Якобии целевой функции, а матрица Якобии аппроксимирующей функции. когда 
Когда он большой, надежная область мала, и этот алгоритм приближается к методу наискорейшего спуска.Когда он маленький, надежная область велика, что близко к методу Гаусса-Ньютона.
Процесс работы алгоритма следующий:
Википедия использует функцию Розенброка, которая включает тонкий каньон при представлении градиентного спуска.
Показывает явление зигзага:
Как повысить эффективность с помощью LMA. Применительно к нашей предыдущей формуле LMA:
Оптимальное решение (1, 1) можно получить примерно за 5 итераций.
Алгоритм Левенберга-Марквардта очень чувствителен к локальным минимумам. Википедия дает пример подгонки двумерной кривой. При использовании разных начальных значений полученные результаты сильно различаются. У меня также есть код Python, поэтому я не буду вдаваться в подробности. Вверх.
4) Conjugate Gradients
Метод сопряженных градиентов также часто используется в моделях оптимизации. Математические формулы и принципы, лежащие в основе этого метода, немного сложнее. Вы можете написать очень длинное сообщение в блоге только об этом методе оптимизации, поэтому я не собираюсь подробно объяснять здесь каждый из них. Одноэтапный процесс вывода, просто вкратце напишите о процессе реализации алгоритма. В отличие от самого крутого градиентного спуска, преимущества сопряженных градиентов в основном отражаются в выборе направления поиска. Прежде чем разбираться в методе сопряженных градиентов, мы сначала кратко разберемся с сопряженным направлением:
Определение сопряженного направления и расстояния Махаланобиса схожи в том, что они оба рассматривают глобальное распределение данных. Как показано на рисунке выше, направление d (1) касается контура квадратичной функции, а направление d (2), сопряженное с d (1), указывает на центр эллипса. Следовательно, для двумерной квадратичной функции, если одномерный поиск выполняется в двух сопряженных направлениях, точка минимума должна быть достигнута после двух итераций. Как мы уже говорили ранее, форма контурного эллипса определяется матрицей Гессена. Затем два направления на приведенном выше рисунке ортогональны матрице Гессена, а сопряженное направление определяется следующим образом:
Если эллипс представляет собой идеальный круг, а матрица Гессена является единичной матрицей, вышеуказанное эквивалентно ортогональности в евклидовом пространстве.
Если в процессе оптимизации мы определяем направление движения (GD: перпендикулярно контуру, CG: сопряженное направление), а затем ищем точку минимума в этом направлении (она оказывается касательной к контуру), Затем перейдите к точке минимума и повторите описанный выше процесс, затем для процесса оптимизации градиентного спуска и сопряженного градиентного спуска можно использовать следующий рисунок.зеленая линияпротивКрасная линияСредства:
Сказав так много, как работает алгоритм сопряженного градиента?
Во многих материалах введение метода сопряженных градиентов дало пример нахождения приближенного решения линейных уравнений Ax = b, что фактически эквивалентно тому, что здесь упоминается.
По-прежнему использовать исходную целевую функцию
Чтобы написать код оптимизации метода сопряженных градиентов:
Краткое описание методов градиентного спуска, метода Ньютона, метода Гаусса-Ньютона, метода LM
Метод градиентного спуска, метод Ньютона, метод итераций Гаусса-Ньютона, с реализацией кода
[1] Machine Learning: An Algorithmic Perspective, chapter 11
[2] Теория и алгоритм оптимизации (2-е издание), Чэнь Баолинь
[3] wikipedia