для чего нужна формула эйлера
Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера
Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.
Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».
Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.
Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».
Рисунок 2.0: обложка журнала The Mathematical Intelligencer
Рисунок 3.0: опрос Дэвида Уэллса из журнала
Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».
Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».
Рисунок 4.0: в этой сцене уравнение Эйлера можно заметить на второй книге в самой правой стопке.
Рисунок 5.0: в этой сцене уравнение Эйлера написано на футболке второстепенного персонажа.
Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.
Рисунок 6.0: марка, выпущенная в 1983 году в Германии в память о двухсотлетии со смерти Эйлера.
Рисунок 7.0: марка, выпущенная Швейцарией в 1957 году в честь 250-й годовщины Эйлера.
Почему уравнение Эйлера так важно?
Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.
e в степени i, умноженного на ϕ (фи) = cos ϕ + i * sin ϕ
Рисунок 8.1: график тождества Эйлера.
Рисунок 8.2: частоты, испускаемые LC-цепью.
Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.
1: число для счёта
Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.
Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.
323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)
Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 10 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:
1001 = (2 3 ) + (0 2 ) + (0 1 ) + (2 0 ) = [9 в системе с основанием 10]
Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?
Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.
Рисунок 11: показанные здесь иероглифы образуют число 4622; это одно из чисел, вырезанных на стене в храме в Карнаке (Египет).
Рисунок 12: иероглифы — это изображения, обозначающие слова, а в данном случае — числа.
В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.
Рисунок 13: вавилонские числа из шестидесятиричной системы счисления (с основанием 60).
Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус.
Рисунок 14: романский абакус в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе счисления
Рисунок 15: таблица преобразования из арабских в римские числа
Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.
Рисунок 15: таблица букв древних греков.
В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.
Рисунок 16: китайский способ счёта с числами-палочками. Использовался как минимум с 400 года до нашей эры. Квадратная счётная доска использовалась примерно до 1500 года, когда её заменил абакус.
Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.
Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами
Рисунок 18: ещё один способ записи чисел майя.
0: число для обозначения ничего
Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.
Рисунок 19: вырезанный на стене храма в Гвалиоре круг обозначает ноль. Ему примерно 1500 лет.
Рисунок 20: чёрные точки в манускрипте Бакхшали обозначают нули; это самый старый письменный пример использования числа, ему примерно 1800 лет.
Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.
Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.
Рисунок 21: на этой схеме показана эволюция чисел, происходящих от чисел брахми и заканчивающаяся числами, которыми мы используем и сегодня.
Рисунок 22: классическая гравюра «Арифметика» из Margarita Philosophica Грегора Рейша, на которой изображено соревнование между Боэцием, улыбающимся после открытия индо-арабских чисел и письменных вычислений, и нахмуренным Пифагором, до сих пор пытающимся пользоваться счётной доской.
Пи (π): самое известное иррациональное число
Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.
π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²
Рисунок 22: анимированная связь между окружностью и диаметром в отношении пи.
Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).
Рисунок 23: данные опроса 941 респондентов для определения процента людей, способных запомнить знаки пи после запятой.
Рисунок 24: На стене станции метро Karlsplatz в Вене записаны сотни разрядов пи.
На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.
Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к диаметру описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.
Рисунок 24: вавилонская глиняная табличка с отношением периметра шестиугольника к длине описанной окружности.
Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:
Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:
Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).
Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.
Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разрядов числа пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.
В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно
Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.
Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!
В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.
Рисунок 31: комната пи
С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.
А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.
Рисунок 32.1: бросание 1000 иголок для оценки приблизительного значения пи
e: история экспоненциального роста
e — это ещё одно знаменитое иррациональное число. Дробная часть e тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем e, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.
Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.
Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 2 0 зерна на первую клетку шахматной доски, 2 1 зерна на вторую клетку доски, 2 2 зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 2 63 зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!
Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.
Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.
Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.
Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.
В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.
Рисунок 35: закон Ньютона-Рихмана
Рисунок 36: мальтузианская катастрофа
Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным. Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом i, был Эйлер.
Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:
Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.
После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).
Рисунки 37 и 38: комплексные числа
Самое красивое уравнение: тождество Эйлера
Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений
Рисунок 40: тождество Эйлера
Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.
Несмотря на простоту записи, эта формула несёт принципиально важную идею и находит применение почти во всех современных точных исследованиях и разработках.
Общие сведения
Формула Эйлера утверждает, что:
Формула, связывающая тригонометрические и функции экспоненциальные выражения, имеет множество применений. Она позволяет рассчитать некоторые выражения, решения которых невозможно или проблематично вычислить другим путём.
Необходимо лишь превратить исходные формулы в конструкцию, которая будет содержать удобные для проведения дальнейших операций функции.
Экспоненциальные и тригонометрические выражения обладают столь многочисленными свойствами, что имеют наиболее широкую область использования. Это делает неочевидную связь между ними особенно полезной.
История создания
Формулу в привычном для людей виде опубликовал Эйлер в статье 1740 года. В 1748 году выражение было также представлено в его книге «Введение в анализ бесконечно малых». Эйлер доказал формулу на основе бесконечных разложений составляющих формулы в степенные ряды.
Но учёные того времени не рассматривали геометрической интерпретации формулы, которая используется на сегодняшний день. Представление о комплексных числах в виде точек на комплексной плоскости, на основе которого строится геометрическая интерпретация равенства, появилось примерно на 50 лет позже в работах К. Весселя.
Доказательство формулы
Вывод формулы Эйлера можно выполнить, используя ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора при разложении функции в окрестности точки x=0. Раскладывая левую часть равенства, получится cтепенной ряд, в котором в различные степени будет возводиться мнимая единица. Необходимо вынести её, сформировав коэффициент перед x.
С другой стороны, из всех членов, где мнимая единица стоит в нечётной степени, она выносится за скобки. В них останется выражение, подобное тому, которое вышло для чётных степеней.
После разделения мнимых и вещественных членов последовательности и расстановки чередующихся знаков формируются две группы слагаемых, которые представляют собой разложения других функций – синуса и косинуса. При их подстановке получится равенство Эйлера.
Использование
Геометрическая интерпретация позволяет наглядно отобразить математические преобразования. Для этой цели используется комплексная плоскость. Она геометрически отображает комплексные величины: вдоль горизонтальной оси откладывается вещественная часть числа, а вдоль вертикальной – мнимая. Таким образом, число отражается точкой с координатами, представляющими собой вещественную (Re) и мнимую (Im) его части. Часто для удобства используется вектор, проведённый из начала координат в эту точку (радиус-вектор). Несложно понять, что его координаты совпадают с координатами той самой точки.
В геометрической интерпретации рассматривается единичная окружность (радиус равен единице). Для любой точки, принадлежащей окружности, можно построить прямоугольные треугольники, опуская перпендикуляры на оси координат. Это позволяет сделать переход в полярную систему координат, которая удобна для пояснения другой формы числа.
В ней положение точки определяется не расстояниями, отложенными на осях, а длиной вектора, проведённого в точку из начала координат и углом поворота относительно оси (вещественной).
Из свойств прямоугольного треугольника следует, что синус используемого угла равен отношению мнимой части числа (противолежащего катета) к длине вектора (гипотенузе). Так как длина гипотенузы равна единице (радиус окружности), то мнимая часть числа равна синусу угла. Аналогично вдоль вещественной оси откладывается расстояние, равное косинусу этого угла. Теперь для получения числа в новом виде осталось только сложить его части, не забыв умножить мнимую на i. Таким образом, исходное число равно:
Последняя конструкция в точности повторяет выражение, стоящее в правой части равенства Эйлера. Значит, благодаря ей появляется возможность отобразить комплексную величину по-новому – через экспоненту:
Комплексный анализ
Формула играет важную роль в комплексном анализе. На её основе строится связь тригонометрической и показательной форм записи комплексного числа, которая отображена в только что полученной формуле.
Нельзя ограничиваться единичной окружностью. Как отобразить любую точку комплексной плоскости в новом виде? Можно это представить очень просто: будет изменяться радиус. Тогда числа, выраженные через синус и косинус, будут умножаться на длину гипотенузы (радиус окружности). Эта длина называется модулем комплексной величины, а угол поворота – аргументом.
Модуль обозначается так же, как и обычный модуль для вещественного числа, ведь он представляет просто более общий случай. В то же время для аргумента стало использоваться новое обозначение – arg.
И синус, и косинус умножаются на модуль. Следовательно, его можно вынести за скобки. Что осталось в скобках? – Всё та же правая часть любимой формулы. Можно заменить содержимое скобок на экспоненту.
Таким образом, имеется три формы записи комплексного числа:
Последние две связаны между собой за счёт формулы Эйлера. Зачем их три? Новичку, как правило, приятно использовать алгебраическую, ведь она проще выглядит: лишь сумма двух чисел. Но некоторые операции очень сложно либо даже невозможно осуществить, используя лишь её.
Так что часто приходится переводить число из алгебраической формы в тригонометрическую, которая имеет ряд полезных особенностей. А вот перейти к показательной форме от тригонометрической не составит труда – копируется аргумент числа и вставляется в степень e, умножив на i.
Производные формулы
Формула Эйлера выражает экспоненту через тригонометрические функции, но можно получить и обратное преобразование. Применимость её для таких целей очевидна. Заменяют x на –x. Косинус – чётная функция, синус – нечётная. В результате замены происходит изменение знака перед синусом.
Сложение и вычитание полученных выражений приводит к уравнению, с одной стороны которого располагается удвоенный косинус или синус, а с другой – комбинация экспонент. Выразить отсюда тригонометрическую функцию не составит труда.
Эти формулы имеют большое значение при работе с преобразованиями комплексных величин. Например, они могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной.
При обычном рассмотрении тригонометрических функций не удаётся получить значения для комплексного аргумента, зато есть возможность поставить такое значение в только что полученную формулу. В результате преобразований можно получить значение, которое выражается лишь через косинусы и синусы вещественной переменной, а также гиперболические косинусы и синусы, опять же, с вещественными аргументами.
Таким образом, для получения значений ряда функций комплексных используются следствия формулы Эйлера.
Пример применения:
Также эти формулы значительно упрощают некоторые расчёты. С их помощью можно получить многие тригонометрические тождества путём проведения преобразований и дальнейшей обратной замены.
Кроме того, из формулы вытекает известное тождество Эйлера, которое связывает пять фундаментальных математических констант. Оно представляет собой частный случай при x=π. При подстановке числа π синус обращается в 0, а косинус принимает значение 1.
Остаётся лишь перенести 1 в другую часть уравнения, чтоб получить все пять констант в явном виде.
Тождество было опубликовано Эйлером в 1740 году и вызвало общественный резонанс. Имели место даже попытки мистического толкования как символа единства математики. Ведь тождество связывает величины, произошедшие из разных разделов математики:
Наглядное доказательство
Существуют альтернативные доказательства, как для почти любых математических выражений. Более наглядное отображение может дать рассмотрение производной выражения в показательной форме, а именно от числа с модулем, равным единице.
Производная экспоненты равна той же самой экспоненте, но с одним изменением: необходимо умножить её значение, на которое умножался аргумент в степени.
Умножение на i аналогично повороту на 90 градусов. Полученный угол даёт возможность провести аналогию с центростремительной силой – подтверждается то, что точка движется по окружности с центром в начале координат. Но в то же время, для этой же окружности действует отображение точек через сумму косинуса и синуса. Отсюда вытекает взаимное соответствие комплексной экспоненты и тригонометрических функций.
В науке и технике
В комплексном анализе для возведения числа в степень его переводят в тригонометрическую или показательную форму. Например, возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме легко произвести, пользуясь формулой Муавра. Тем не менее, показательная форма позволяет сократить объёмы записей, не усложняя их. Так что имеет смысл проводить промежуточные расчёты, используя именно её. Хотя для простых случаев есть возможность просто вычислять корни и степени с помощью онлайн-калькуляторов. Они тоже используют переходы между формами комплексного числа.
Согласно формуле Муавра, при возведении комплексного числа в степень необходимо возвести в эту степень модуль числа и умножить аргумент на тот же показатель степени. Для вычисления корня производятся аналогичные операции: взятие корня и деление соответственно.
Но для получения всех корней необходимо учитывать возможность сдвига аргумента 2π и кратные ему значения (при повороте на полный оборот попадают в ту же точку – то же число). В связи с этим, при взятии корня образуется также множество результатов, но сдвиг между ними в равное показателю корня раз меньший. Следовательно, на каждый оборот приходится несколько корней, что необходимо учитывать в большинстве расчётов.
Ещё более широкие перспективы открываются благодаря свойству экспоненты при дифференцировании и интегрировании переходить самой в себя. Задачи решаются на порядок проще, чем при проведении вычислений с тригонометрическими функциями. Как следствие, показательная форма комплексного числа и формула Эйлера широко применяются в физике и технике, а также множестве программных алгоритмов.