для чего записывают результаты измерений в таблицу

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

Примеры шкал различных приборов:

Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin \triangle=\frac\\ \triangle=\frac<10-5><24+1>=\frac15=0,2\ c \end

п.3. Виды измерений

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac<99,8+101,2+100,3><3>=\frac<301,3><3>\approx 100,4\ \text <г>\end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac<0,6+0,8+0,1><3>=\frac<1,5><3>=0,5\ \text <(г)>\end Мы видим, что полученное значение \(\triangle_\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\<0,5; 0,05\right\>\ \text <(г)>\end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text <(г)>\end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac<0,5><100,4>\cdot 100\text<%>\approx 0,050\text <%>\end

п.6. Представление результатов эксперимента

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac<0,1><4,0>\cdot 100\text<%>=2,5\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,03><4,0>\cdot 100\text<%>=0,75\text <%>\end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Источник

Глава 4 Рекомендации по выполнению и представлению результатов работы

4.1 Проведение измерений

4.1.1 Правила ведения лабораторного журнала

В журнале необходимо фиксировать всю информацию о проводимом эксперименте: название работы, дату и время проведения эксперимента, типы использованных приборов, схему установки, а также любые другие показатели, которые могут быть связаны с проведением работы и обработкой результатов.

Замечание. Недопустимым считается отсутствие какой-то информации в журнале поскольку она «есть в лабнике». Информация в описании может быть устаревшей или не соответствовать конкретной установке. Допускается использование элементов описания, нарисованных на компьютере, напечатанных и вклеенных в журнал.

Лабораторный журнал должен содержать максимально полную информацию о процессе проведения эксперимента, а не только результаты измерений. Обязательно должны быть указаны все проводимые экспериментатором действия. По возможности должны присутствовать временные метки всех действий (например, чтобы потом можно было сверить журнал с журналами других студентов, работающих в это время, или с другой информацией).

Пример. Результаты измерений могу зависеть от окружающей температуры и влажности (особенно в работах по термодинамике). Поэтому если в момент измерений, кто-то открывает дверь или окно в лаборатории, может случиться синхронный скачок измеряемых значений на всех установках. Этот скачок может быть не заметен на стадии измерений и обнаружен только при обработке. Если хотя бы в одном журнале есть запись о том, что была открыта дверь, а во всех остальных есть временные метки, то можно при обработке учесть изменение условий.

Не допускается исключение из журнала «неправильных» (или показавшихся неправильными) измерений. Если по какой-то причине сделано заключение о том, что измерение проведено в неправильных условиях, результаты должны быть сохранены, а в журнале сделана пометка о том, почему это измерение считается ненадежным. История знает много примеров, когда на первый взгляд «ошибочные» измерения приводили к открытиям.

Рекомендуется дублировать в журнале показания приборов даже если они записываются автоматически электронным способом. Это позволяет избежать многих ошибок.

При записи результатов измерений не допускается использование карандаша, корректора или черновиков.

4.1.2 Подготовка к работе

Перед выполнением учебной лабораторной работы необходимо

ознакомиться с описанием работы и теоретическим введением по соответствующей теме: получить таким образом представление об изучаемых явлениях, порядках измеряемых величин и связывающих их закономерностях, а также о методе измерения, используемых приборах и последовательности действий при проведении измерений;

продумать предложенный в описании план действий, оценить необходимое количество измерений. Количество измерений студент должен оценивать самостоятельно исходя из а) требуемой точности измерений и б) планируемого времени выполнения работы;

желательно заранее (в крайнем случае, на начальном этапе работы) представлять диапазон изменения измеряемых величин и выбрать для них соответствующие единицы измерения;

предварительно оценить достижимую точность измерений, проанализировать возможные источники погрешностей и их влияние на погрешность конечного результата.

Для подготовки к выполнению работы рекомендуется наличие в журнале следующих элементов:

называние (не только номер!) и цели работы;

схема установки и описание использованных приборов. Следует иметь в виду, что реальная схема конкретной установки может отличаться от той, что изображена в описании;

основные теоретические положения и расчётные формулы для данной работы. Не следует переписывать (или перепечатывать) всё, что изложено в описании работы — нужно выделить ключевые моменты, необходимые для проведения работы и интерпретации результатов.

план работы с оценкой количества измерений и времени, необходимого на выполнение каждого пункта. В процессе работы план может меняться, о чем должна быть сделана соответствующая пометка в журнале (с указанием причин).

4.1.3 Начало работы

В начале работы необходимо тщательно ознакомиться с экспериментальной установкой, проверить работоспособность приборов. Все сведения о приборах и условиях эксперимента необходимо зафиксировать в лабораторном журнале. Рекомендуется переписать полные наименования приборов — в этом случае недостающую информацию о них можно всегда найти в интернете.

Замечание. При сборке электрических схем источники питания подключаются к схеме в последнюю очередь. Регулировочные ручки напряжения или тока должны исходно находиться в нулевом положении.

Прежде чем приступить к основным измерениям, необходимо проверить работу установки. Первые измерения должны быть контрольными, чтобы убедиться, что все работает нормально, диапазон и точность измерений выбраны правильно. Если разброс повторных измерений не превышает инструментальную погрешность, то многократных измерений не требуется.

Замеченные неполадки в работе приборов и установок надо зафиксировать в журнале и сообщить об этом преподавателю.

4.1.4 Выбор количества измерений

Выбор количества измерений является сложной задачей, не имеющей единого алгоритма принятия решений. Тем не менее, каждый экспериментатор (в том числе, студент) должен самостоятельно определять, какое количество измерений является достаточным, базируясь на соображениях точности результатов, времени измерений и здравого смысла.

Измерение фиксированной величины.

При измерении некоторой фиксированной величины количество необходимых измерений зависит от разброса результатов. Для первичной оценки этого разброса рекомендуется проделать измерения как минимум 3–4 раза (если позволяет время). Разброс полученных значений приблизительно соответствует статистической ошибке отдельного измерения. Если разброс существенно превышает точность измерительных приборов, то имеет смысл (опять же если позволяет время) провести более длительную серию (8–10) измерений, и после этого вычислить среднеквадратичное отклонение отдельного измерения от среднего.

Если остальные измерения в серии проводятся аналогичным образом, то разумно ожидать, что разброс остальных измерений будет таким же, и повторять длинную серию для всех измерений не нужно.

Измерение зависимостей.

При измерениях функциональной зависимости в первую очередь следует позаботиться о том, насколько хорошо будут восстанавливаться параметры этой зависимости. Число параметров не может быть больше, чем число экспериментальных точек (нельзя строить прямую по одной точке!). Но даже в случае, если число точек равно числу параметров, эксперимент нельзя считать удовлетворительным, поскольку нет возможности проверить, является ли модель правильной и не было ли одно из измерений ошибочным. Универсального правила по выбору количества точек нет, но для определения параметров прямой рекомендуется иметь не менее 5–6 точек (а лучше 8–10).

В случае длительных измерений, следует заранее планировать время таким образом, чтобы точки максимально равномерно лежали во всем диапазоне измерений. Также важно понимать, что в случае измерения зависимостей, количество точек с разными параметрами важнее, чем точность отдельного измерения, поскольку при аппроксимации параметров модели, накопленная информация по разным точкам все равно будет просуммирована.

Важно отметить, что часто параметры установки «плывут» («дрейфуют») во время проведения эксперимента, поэтому рекомендуется при измерениях делать проходы в одну и в другую сторону по всему диапазону значений.

4.1.5 Измерения

При записи результатов измерений фиксируются непосредственные показания прибора — без какого либо пересчёта единиц измерения, округления и т.п. В частности, если прибор имеет шкалу, записывается число делений отклонения стрелки, и отдельно — цена деления (в отдельном столбце или перед таблицей). Пересчёт в физические единицы с учётом цены деления производится позже при обработке. Это позволяет минимизировать ошибки при снятии показаний.

Полезно строить предварительные графики (прямо в экспериментальном журнале) зависимостей измеряемых величин по мере получения результатов. При этом сразу выделяются области резких изменений, в которых измерения должны проводиться подробнее (больше точек), чем на участках плавного изменения. Если изучаемая закономерность, например линейная, выполняется только на некотором участке, то область измерений должна быть выбрана шире этого участка, чтобы можно было установить границы работы закономерности.

4.1.6 Расчёты, анализ и представление результатов

Полученные первичные результаты в виде таблиц и графиков используются для расчёта конечных значений величин и их погрешностей либо для нахождения зависимости измеряемых величин между собой.

В общем случае лабораторный журнал и отчет — это два разных документа и могут быть оформлены по отдельности. Отчет не должен быть столь же подробен как журнал с точки зрения деталей проведения эксперимента. Также в отчете можно опустить прямые результаты измерений — достаточно дать ссылки на соответствующие страницы журнала.

Для измеряемых величин окончательные результаты должны быть представлены в виде среднего значения, погрешности и количества проведённых измерений.

Для окончательной оценки качества результатов необходимо сравнить их с данными, приводимыми в справочниках.

Замечание. Совпадение или несовпадение измеренного значения со справочным не может считаться критерием правильности проведения работы. Во-первых, значения действительно могут отличаться. Материалы, используемые в лабораторных работах, не всегда являются чистыми и соответствуют справочнику. Во-вторых, могут быть объективные причины, по которым результаты разошлись. Поиск и объяснения этих причин является более важным, чем точное совпадение значений!

4.2 Анализ инструментальных погрешностей

Погрешность шкалы.

Замечание. Стоит по возможности избегать измерений в начале шкалы: если измеряемая величина лишь немногим превосходит цену деления (или единицу последнего разряда дисплея), относительная ошибка измерения резко возрастает.

Паспортная погрешность.

Любой прибор имеет погрешность изготовления, калибровки, а также внутренние источники ошибок (например, шумы). Как правило, максимальные значения этих погрешностей определяются производителем и описаны в паспорте прибора. Погрешности могут зависеть от условий эксплуатации (температура, влажность и т.д.), что также должно отражаться в паспорте.

Сложение погрешностей.

Наконец, при считывании показаний стрелка прибора или цифры на циферблате могут «дрожать» ( флуктуировать ) вблизи некоторого значения. Это может быть связано как с разного рода шумами и помехами внутри прибора, так и с колебаниями самой измеряемой величины. Если записывается некоторое среднее значение показаний, то амплитуда флуктуаций должна быть учтена как дополнительная случайная погрешность.

Не стоит также забывать, что в процессе эксперимента почти наверняка возникнут дополнительные погрешности, связанные с конкретной постановкой опыта и методикой измерений. Для нахождения результирующей погрешности измерения необходимо сложить все независимые источники ошибок среднеквадратичным образом:

Замечание. Отметим, что цену деления шкалы или разрядность дисплея добросовестный производитель выбирает таким образом, чтобы погрешность отсчёта и погрешность самого прибора были согласованы. В таком случае погрешность отсчёта по шкале отдельно учитывать не нужно — она уже учтена производителем при расчёте инструментальной погрешности.

4.3 Отчёт о работе

Лабораторная работа студента — миниатюрное научное исследование. Настоящие требования основаны на общепринятых стандартах научных публикаций, упрощенных для студентов младших курсов.

Отчёт о проделанной лабораторной работе должен представлять собой целостный документ, позволяющий читателю получить максимально полную информацию о проделанной работе и полученных результатах — без каких-либо дополнительных пояснений со стороны студента.

Материал в отчёте должен излагаться последовательно, а сам отчёт должен быть структурирован по разделам. Отчёт, как правило, содержит разделы: 1) аннотация, 2) теоретические сведения, 3) методика измерений, 4) используемое оборудование, 5) результаты измерений и обработка данных, 6) обсуждение результатов, 7) заключение. Структура и названия разделов могут незначительно варьироваться в зависимости от конкретного содержания работы.

Записи лабораторного журнала прикрепляются к отчёту в качестве приложения. Допускается ведение лабораторного журнала и оформление отчётов в одной рабочей тетради (формата А4).

Помимо таблиц и графиков в тексте отчёта также должны быть представлены промежуточные результаты обработки данных (с соответствующими погрешностями), указаны используемые методы обработки данных и приведены соответствующие формулы. Окончательные и наиболее важные промежуточные результаты должны быть записаны с указанием погрешности (как абсолютной, так и относительной) и округлены согласно принятым в физике правилам округления.

4.3.1 Требования к содержанию разделов

краткое (1–2 абзаца) описание работы: её цели, используемые методы и приборы, ожидаемые результаты.

краткий обзор основных понятий и теоретических законов, используемых или проверяемых в работе; упрощения и предположения, используемые при анализе и интерпретации результатов эксперимента; основные расчётные формулы.

схема и описание экспериментальной установки; краткое описание основных методик проведения эксперимента, получения и обработки экспериментальных данных.

перечень измерительных приборов, используемых в работе; инструментальные погрешности приборов и предварительный анализ их влияния на результаты опыта.

результаты проведенных измерений в форме таблиц и графиков; промежуточные и окончательные расчёты, в том числе расчёт погрешностей полученных результатов.

анализ точности проведённых измерений и достоверности результатов; обсуждение применимости использованных теоретических предположений; сравнение результатов с табличными (справочными) данными или результатами других экспериментов; обсуждение возможных причин ошибок и способов их устранения.

краткое резюме по результатам эксперимента: что удалось или не удалось измерить, были ли достигнуты поставлены цели, выводы по результатам работы и т.п.

4.3.2 Правила округления

Запись числовых значений, полученных в результате измерений, отличается от стандартной записи чисел, принятой в арифметике или в бухгалтерской отчётности. При десятичной записи результата важно следить за тем, какие цифры соответствуют реально измеренным в эксперименте, а какие возникли исключительно в результате математических операций и находятся за пределами точности опыта.

последняя цифра записи результата измерения должна соответствовать тому же разряду, что и последняя цифра в погрешности:

При записи промежуточных результатов и в промежуточных вычислениях, проводимых вручную, необходимо сохранять одну лишнюю значащую цифру, чтобы избежать ненужных ошибок округления. При вычислениях на калькуляторе необходимо следить, чтобы значащие цифры не вышли за пределы разрядности. То же касается примитивных средств для обработки данных, таких как электронные таблицы. Рекомендуется пользоваться только инженерными/научными калькуляторами, которые не имеют ограничений по разрядности, а также специализированными средствами обработки экспериментальных и статистических данных.

4.3.3 Построение графиков

Самый простой и грубый метод — провести наилучшую прямую «от руки». Этот метод, конечно, нестрогий, но весьма наглядный. На практике к нему приходится часто прибегать для грубой и быстрой оценки промежуточных результатов. Для этого нужно приложить прозрачную линейку к графику так, чтобы по возможности кресты всех экспериментальных точек находились максимально близко к проводимой линии, а по обе стороны от неё оказалось примерно одинаковое количество точек.

Эта же процедура позволяет проверить, является ли измеренная зависимость в самом деле линейной: прямая должна пересекать большую часть (хотя бы 2/3) крестов погрешностей. В противном случае можно предполагать существенное отклонение экспериментальной зависимости от линейной теоретической. Отметим, что если кресты погрешностей на графике не отмечены, такой анализ провести затруднительно.

Существуют и аналитические методы подбора параметров (см. гл. 3 ), минимизирующие отклонения экспериментальных точек от некоторой теоретической зависимости (например, метод наименьших квадратов ). Студентам первого курса рекомендуется осваивать их постепенно, по мере накопления опыта экспериментальной работы.

Пример. На рис. 4.2 изображены одни и те же экспериментальные точки при разных погрешностях измерений, график 4.2 а, несомненно, указывает на нерегулярный ход изучаемой зависимости (кривая линия). Те же данные при больших погрешностях опыта (рис. 4.2 б) успешно описываются прямой линией. Без указания крестов погрешностей разделить эти два случая было бы невозможно.

Нелинейные зависимости.

Если теория предсказывает нелинейную функциональную зависимость между величинами, часто можно сделать замену переменных так, чтобы результирующий график получался линейным.

Заметим, что аналитические методы позволяют подбирать параметры и для нелинейных зависимостей. Хотя готовых формул для общего случая не существует, задача легко решается численно — и в большинстве современных программ обработки данных это сделать не сложнее, чем построить наилучшую прямую. Построение прямой является наиболее наглядным и позволяет проверить «разумность» полученных результатов, сверив их с построением «от руки».

Допускается использования программных пакетов для обработки линейных и нелинейных зависимостей при условии, что студент понимает все детали применяемой процедуры обработки.

4.3.4 Рекомендации по оформлению графиков

Основная цель использования графиков — наглядность отображения результатов. В связи с этим к ним предъявляются следующие требования:

график обязательно должен иметь подпись (заглавие) с кратким описанием его содержания (графики — это первое, на что обращает внимание читатель, еще до прочтения текста отчёта!);

подписи, данные и линии не должны быть нагромождены друг на друга так, что препятствовало бы их чтению;

оси на графике должны быть подписаны : указаны буквенное обозначение величины и её единицы измерения; если величина безразмерна, указывается «отн. ед.» (относительные единицы);

на осях должны быть отмечены масштаб и положение нуля ; масштаб обозначается несколькими отметками с подписанными значениями и дополнительными малыми отметками без подписей; масштаб должен быть удобным для чтения (использованы «круглые» числа, делящиеся на 10, 5 или 2);

масштаб осей и начало отсчёта должны быть выбраны так, чтобы экспериментальные данные занимали всю площадь листа, отведённую под график;

если график строится не «от нуля», это следует подчеркнуть отдельно, например «разрывом» оси;

при необходимости сравнения данных из разных серий измерений, их следует размещать на одном графике, обозначая их разными символами или цветами;

график с несколькими сериями данных должен быть снабжен «легендой», в которой указано соответствие серий данных и их обозначений; экспериментальные «точки» должны изображаться символами конечных размеров (позволяющими отличить их от случайных «пятен»);

точки не должны быть без необходимости соединены линиями; также не нужно подписывать положение каждой точки графика (при необходимости можно указать положение 1-2 особых точек, если это не загромождает график);

если теория предполагает некоторую (например, линейную) функциональную зависимость, на график должна быть тонкой линией нанесена соответствующая теоретическая кривая; расчёт параметров этой кривой (например, коэффициентов МНК для линейной зависимости) должен проводиться отдельно в тексте отчёта — с указанием используемых методов и формул; результаты таких расчётов и их погрешности указываются в легенде графика или в подписи к нему;

оптимальный размер графика — от четверти до половины страницы (при условии, что отчёт оформляется на страницах формата А4).

4.4 Некоторые типичные ошибки обработки данных

Нахождение углового коэффициента по среднему от частного.

Недооценка систематической погрешности.

Аппроксимация полиномом.

Источник