доказать что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Биссектриса угла

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы угла треугольников и других фигур.

Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек…

Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ЕГЭ!

Биссектриса угла — коротко о главном

Биссектриса угла — это линия, делящая угол пополам.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Теорема 1. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Теорема 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Теорема 4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Теорема 5. Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Теорема 6. Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

А теперь подробнее…

Определение биссектрисы угла

Помнишь шутку: «Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»?

Так вот, настоящее определение биссектрисы угла очень похоже на эту шутку — биссектриса действительно делит пополам угол (а не отрезок, например):

Биссектриса угла – это линия, делящая угол пополам.

Или еще вот такое определение биссектрисы:

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.

А вот определение биссектрисы треугольника:

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Мы скоро докажем обе этих теоремы, а пока твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь?

А вот представь, что у тебя задача:

Дано: \( AB=5,

Найти: \( \displaystyle BC. \)

Ты тут же соображаешь, \(\displaystyle BD \) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону \( \displaystyle AC \) пополам! (по условию…).

Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что AB=BC и значит, пишешь ответ: BC=5.

Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике

Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Смотри: у \( \triangle ABL \) и \( \triangle CBL \) равны стороны \( AB \) и \( BC \), сторона \( BL \) у них вообще общая и \( \angle 1=\angle 2\). (\( BL \) – биссектриса!)

И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \( \triangle ABL=\triangle CBL \), а значит \( AL \)= \( CL \) и \( \angle 3=\angle 4 \).

\( AL \) = \( CL \) – это уже хорошо – значит, \( BL \) оказалась медианой.

А вот что такое \( \angle 3=\angle 4 \)?

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Будет немного сложнее, но пока мы отвлечемся на термины — повторим что такое биссектриса, медиана и высота, чем они похожи и чем они отличаются.

Биссектриса, медиана, высота — определения и отличия

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Чем они отличаются друг от друга?

Если нет, не страшно. Сейчас разберемся.

Чем биссектриса, медиана и высота похожи между собой?

Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.

Чем биссектриса, медиана и высота отличаются между собой?

Вернемся к нашим баранам — к свойствам биссектрисы…

Угол между биссектрисами любого треугольника

B \( \triangle ABC \)проведем две биссектрисы \( AO \)и \( OC \).

Они пересеклись. Какой же угол получился у точки \( O \)?

Применим этот потрясающий факт. С одной стороны, из \( \triangle ABC \):

\( \angle A+\angle B+\angle C=180<>^\circ \), то есть \( \angle B=180<>^\circ \text< >-\text< >\left( \angle A+\angle C \right) \).

Теперь посмотрим на \( \triangle AOC \):

\( \angle 2+\angle 6+\angle 3=180<>^\circ \)

Но биссектрисы, биссектрисы же!

Значит \( \left( \triangle AOC \right) \)

Теперь через буквы

Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три?! Пересекутся ли они все в одной точке?

Источник

Точка пересечения биссектрис треугольника

Всего получено оценок: 89.

Всего получено оценок: 89.

В треугольнике есть три характерные линии: высоты, медианы и биссектрисы. Для каждой из этих линий есть своя точка пересечения, характеризующая треугольник. Первой всегда изучают точку пересечения биссектрис, потому что именно она дает представление о взаимосвязи величин треугольника и связанных с ним окружностей.

Определение

Точка соединения биссектрис это одна из самых проблемных точек. Она ведет к пониманию вписанных и описанных фигур, восприятие которых очень затруднено. Приходится думать не только о треугольнике, а еще и об окружностях, вписанной и описанной, что затрудняет решение задачи.

Но с другой стороны, значения радиусов вписанной и описанной окружности фигурирует во многих формулах, что позволяет упростить решение многих задач. Но для начала разберемся, что такое вписанная и описанная окружность, а потом узнаем, как это связано с точкой пересечения биссектрис и связано ли вообще.

В произвольном остроугольном треугольнике характерные точки не совпадают, а соединив их можно получить золотое сечение треугольника, для правильного треугольника золотое сечение является точкой. В равнобедренном треугольнике золотое сечение становится линией.

Вписанная окружность, это окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.

Центр такой окружности называется инцентром треугольника. При этом, инцетр, или точка пересечения биссектрис тупоугольного треугольника всегда находится внутри треугольника, в отличие от высот.

Расстояние от инцентра до каждой из сторон одинаково и является радиусом вписанной окружности. Треугольник в таком случае будет считаться описанным вокруг окружности.

Рис. 2. Инцентр треугольника

Описанной окружностью считается окружность, касающаяся каждой из вершин треугольника. То есть, каждая вершина должна входить в границу окружности. Треугольник в этом случае наоборот будет считаться вписанным, а расстояние от вершин треугольника до центра окружности будет всегда одинаковым и равным радиусу описанной окружности.

Теоремы о точке пересечения биссектрис

Теорема, на самом деле, одна, но доказательство разбито на две части. Формулировка звучит так: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности.

Сначала докажем, что три биссектрисы пересекаются в одной точке. Для этого в треугольнике АВС проведем биссектрисы ВМ, СР и АК. Точку пересечения обозначим О. Тогда рассмотрим каждую биссектрису в отдельности. Для биссектрисы АК расстояния до сторон треугольника а и в, должны быть одинаковы. Для биссектрисы СР расстояния с и а должны быть одинаковы. Для биссектрисы ВМ расстояния в и с должны быть одинаковы. Отрезки а, в и с равны между собой по свойству биссектрисы: любая геометрическая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.

А точка равноудаленная от каждой из сторон может быть только одна. Достаточно попробовать поставить точку пересечения в другом месте и сразу станет заметно, что условие не соблюдается, что невозможно.

Рис. 3. Рисунок к задаче

Мы уже сказали, что в треугольнике только одна точка может быть равноудалена от всех сторон. Это означает, что окружность с центром в этой точке будет вписана в треугольник, так как радиус этой окружности будет перпендикулярен стороне треугольника. Теперь докажем, что в треугольнике может быть только одна вписанная окружность. Если точку о переместить в любое другое место треугольника и опустить перпендикуляры на стороны, то станет ясно, что перпендикуляры не равны между собой, а значит в этой точке центр находиться не может. Что и требовалось доказать.

Что мы узнали?

Мы узнали о точке пересечения биссектрис треугольника, выделили и доказали две части теоремы. Доказали, что в треугольнике может быть только одна вписанная окружность и узнали о золотом сечении треугольника.

Источник

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Источник

Пересечение биссектрис треугольника

Существует теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Данный факт, как и всякая теорема, требует доказательства, так как к примеру можно предположить, что биссектрисы треугольника иногда могут не пересекаться в одной точке. На рисунке ниже слева три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Справа изображена гипотетическая ситуация, когда каждая биссектриса пересекается с двумя другими в разных точках.

Для доказательства теоремы изобразим две биссектрисы треугольника. Понятно, что они пересекаются в одной точке и других точек пересечения быть не может (т. к. биссектрисы углов одного треугольника не могут быть параллельны друг другу, а любые две прямые всегда имеют точку пересечения, притом только одну). От точки пересечения двух биссектрис проведем три перпендикуляра к сторонам треугольника.

Здесь дан треугольник ABC, изображены биссектрисы его угла A и угла B, которые пересекаются в точке O. От точки O проведены перпендикуляры к сторонам треугольника: ОP ⊥ AB, OQ ⊥ BC, OR ⊥ CA.

Как известно, отрезки-перпендикуляры, проведенные от любой точки биссектрисы угла к сторонам этого угла, равны друг другу. Это следует из равенства прямоугольных треугольников. Например, на рисунке ∆AOP = ∆AOR по общей гипотенузе и равным углам при вершине A (т. к. AO делит угол A пополам).

Значит, OP = OR, так как это перпендикуляры к сторонам треугольника от одной точки биссектрисы AO. Также OP = OQ как перпендикуляры от биссектрисы BO.

Так как OP = OR и OP = OQ, значит OR = OQ. Это означает, что точка O находится на одинаковом расстоянии от сторон BC и CA треугольника. Эти стороны образуют угол C. Как известно, все точки внутри угла, которые равноудалены от его сторон, лежат на биссектрисе этого угла. Значит, точка O лежит на биссектрисе угла C.

Таким образом, биссектриса угла C проходит через точку пересечения биссектрис двух других углов треугольника. Поэтому теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, доказана.

Источник

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

Доказательство

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac>> = \dfrac = \dfrac\]

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

Источник