доказать что отображение является сжимающим
Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений
> 
— метрическое пространство.
Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, условие
\rho (x,y) .
Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если имеет место равенство
Ax=x> .
Другими словами, неподвижная точка — это решение уравнения
Ax=x> .
x_<2>=Ax_<1>=A^<2>x_<0>>
x n = A x n − 1 = A n x 0 <\displaystyle
x_.
x m = A m x 0 = A n ( A m − n x ) = A n x m − n <\displaystyle x_.
По определению сжимающего отображения:
∑ k = 1 n − m α k − 1 = 1 − α n − m − 1 1 − α ≤ 1 1 − α <\displaystyle \sum _.
Используем полученные соотношения:
A x = A ( lim n → ∞ x n ) = lim n → ∞ ( A x n ) = lim n → ∞ x n + 1 = x <\displaystyle Ax=A\left(\lim _.
Существование неподвижной точки доказано.
Ax=x> , A y = y <\displaystyle
Ay=y> .
По определению сжимающего отображения:
с другой стороны, по определению неподвижной точки:
\rho (Ax,Ay)=\rho (x,y)> .
Из этих двух соотношений можно вывести, что
x=y> . Теорема доказана.
Следует отметить, что доказательство принципа сжимающих отображений конструктивно: данная теорема не только доказывает существование единственного решения, но и указывает конкретный метод приближённого нахождения этого решения (называемый методом последовательных приближений или методом простой итерации).
Принцип сжимающих отображений может быть применён для доказательства существования и единственности решения различных видов уравнений. Ниже дан простейший пример применения принципа сжимающих отображений, ещё несколько примеров приведены в следующем разделе.
Пример [ править ]
Очевидно, что в этом случае f <\displaystyle
f> — сжимающее отображение, поэтому в силу принципа сжимающих отображений последовательность
x_
сходится к решению уравнения
Рассмотрим теперь уравнение вида
F(x)=0> ,
f(x)=x-\lambda F(x)>
и будем искать решение уравнения
x=f(x)> ,
f ′ ( x ) = 1 − λ F ′ ( x ) <\displaystyle
f'(x)=1-\lambda F'(x)> ,
то имеют место следующие неравенства
1 − λ K 2 ≤ f ′ ( x ) ≤ 1 − λ K 1 <\displaystyle 1-\lambda K_<2>\leq f'(x)\leq 1-\lambda K_<1>> .
Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем
5.1. Сжимающие отображения. Итерации. Метод простых итераций (МПИ)
Рассмотрим системы нелинейных алгебраических уравнений, записанные в векторном виде.
Система нелинейных алгебраических уравнений
 | ( 5.1) |
может быть также представлена в равносильном виде
 | ( 5.2) |
 | ( 5.3) |
Приведем без доказательства одну из основных теорем функционального анализа.
Теорема (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение имеет в 
одну и только одну неподвижную точку 
Более подробно о сжимающих отображениях и другие теоремы о неподвижных точках можно найти, например, в [5.1], [5.2], [5.3].
Теорема (о сжимающем отображении [5.1], [5.5].)
сходится к решению 
системы нелинейных алгебраических уравнений если отображение
является сжимающим; при этом выполнено
По определению сжимающего отображения
В таком случае получим цепочку неравенств при p > k :
В соответствии с критерием Коши существования предела последовательности, последовательность < 
> стремится к пределу 
поскольку правая часть неравенства стремиться к нулю при 
Принцип сжимающих отображений
Вопрос о существовании и единственности решений алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и других типов уравнений можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Одним из критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях является так называемый принцип сжимающих отображений.
Отображение 
метрического пространства 
в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число 
, что для любых двух точек 
и 
пространства выполняется неравенство
.
Точка называется неподвижной точкой отображения , если выполняется равенство
.
Можно показать, что имеет место следующее утверждение.
Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.
Принцип сжимающих отображений можно использовать для доказательства существования и единственности решений для уравнений различных типов. Следует отметить, что принцип сжимающих отображений позволяет не только доказать существование и единственность решения, но и дает метод нахождения приближенного решения. Этот метод называют методом итераций или методом последовательных приближений.
Рассмотрим применение этого метода к отысканию приближенного решения уравнения
, (8.1)
где функция 
определена на промежутке 
и удовлетворяет условию Липшица
, (8.2)
с константой 
и отображает промежуток в себя.
В этом случае 
есть сжимающее отображение и, согласно сформулированной выше теореме последовательность чисел
, 
, 
,…, 
…
сходится к единственному корню уравнения (8.1).
Если функция имеет на промежутке производную 
и при этом выполняется неравенство
, (8.3)
где 
– некоторая постоянная, то легко видеть, что условие сжатости (8.2) выполнено.
Пример 1. На промежутке 
найти действительный корень уравнения
.
Записав данное уравнение в виде (8.1), получим
.
Легко проверяется, что производная 
на промежутке принимает только положительные значения и удовлетворяет условию (8.2).
Пример 2. На промежутке найти действительный корень уравнения
.
Как и в предыдущем примере запишем данное уравнение в виде
.
В этом примере производная 
на промежутке принимает только отрицательные значения, но условие (8.2) по прежнему выполняется. Используя метод итераций и положив вначале 
будем производить вычисления с помощью Mathcad Professional.
Геометрически метод итераций можно пояснить следующим образом. Построим на плоскости 
графики функций 
и 
. Каждый вещественный корень 
уравнения (8.1) является абсциссой точки пересечения кривой с прямой (рис.3).
Отправляясь от некоторой точки 
, построим ломаную линию 
(«Лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси 
и оси 
, так что вершины 
лежат на кривой , а вершины 
на прямой . Общие абсциссы точек 
и 
, 
и 
, 
и 
… представляют собой последовательные приближения 
к корню .
Возможен также (рис.4) другой вид ломаной 
(«Спираль»). Легко заметить, что решение в виде «лестницы» получается, если производная положительна, а решение в виде спирали, если отрицательна.
Если 
, то процесс итерации может быть расходящимся (рис.5).
Пусть теперь требуется решить уравнение 
, причем примем для определенности, что 
, 
и на выполнено неравенство
, (8.4)
где 
и 
– некоторые постоянные. Введем в рассмотрение функцию
,
где 
– некоторая постоянная и заметим, что решение уравнения 
равносильно решению уравнения .
Так как 
, то, используя (8.4) будем иметь
.
Выберем теперь число так, чтобы выполнялось неравенство (8.3), т.е. потребуем выполнения двух равенств
, 
(8.5)
Решая систему (8.5) двух уравнений относительно и , получим
, 
(8.6)
и заметим, что условие выполнено.
Пример. Требуется найти приближенное значение корня уравнения
на промежутке .
Легко проверяется, что 
, а 
. Выпишем производную 
и заметим, что на промежутке выполняется неравенство
,
а тогда в соответствии с равенствами (8.6), получим
, 
.
Введем в рассмотрение функцию
и используя метод итераций положим сначала , а затем, производя вычисления с помощью Mathcad Professional, получим
То есть для получения искомого решения проделали 12 шагов.
Библиографический список
1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. ГИФМЛ, М, 1958.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд-во «Наука». Гл. ред. физ-мат. лит. М. – 1972.
3. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. Гос. Изд-во физ-мат. лит. М, 1962.
4. Треногин В.А. Функциональный анализ. Изд-во «Наука». Гл. ред. физ-мат. лит. М. – 1980.
5. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. Гос. Изд-во техн-теор. лит. М, 1956.
Предметный указатель
Глава 1. Линейные пространства. 5
§ 2. Определение линейного пространства. 7
§ 3. Свойства линейного пространства. 9
§ 4. Линейная зависимость. 12
§ 5. Базис и координаты.. 14
§ 7. Подпространства. 16
Глава 2. Евклидовы пространства. 19
§ 2. Определение евклидова пространства. 20
§ 3. Длина вектора. 22
§ 4. Неравенство Коши-Буняковского. 23
§ 5. Неравенство треугольника. 24
§ 6. Угол между векторами. 25
§ 7. Ортонормированный базис. 26
Глава 3. Линейные операторы.. 29
§ 1. Определение линейного оператора. 29
§ 2. Примеры линейных операторов. 33
§ 3. Действия над линейными операторами. 39
Глава 4. Преобразование координат. 43
§ 1. Замена базиса. 43
§ 2. Ортогональные преобразования. 46
§ 3. Матрица оператора при замене базиса. 48
Глава 5. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов. 49
§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему. 49
§ 2. Несовместные системы линейных уравнений. 50
§ 3. Метод наименьших квадратов. 54
Глава 6. Собственные векторы и собственные числа. 57
§ 1. Определение собственных векторов и собственных чисел. 57
§ 2. Вычисление собственных векторов и собственных чисел в конечномерном пространстве. 58
§ 3. Собственные векторы симметричных операторов. 62
Глава 7. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. 64
§ 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 64
§ 2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. 73
§ 3. Малые колебания механических систем.. 78
Глава 8. Элементы теории метрических пространств. 82
§ 1. Определение метрического пространства. 82
§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства. 84
§ 3. Принцип сжимающих отображений. 87
Библиографический список. 95
Предметный указатель. 96
Ольга Владимировна Афанасьева
Александр Алексеевич Потапенко
Функциональный анализ
В задачах управления
Редактор И.Н. Садчикова
Сводный темплан 2005 г.
Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97
№ 78.01.07.953.П.005641.11.03. от 24.11.2003 г.
Подписано в печать Формат 60´84 1/16
Б.кн.-журн. П.л. Б.л. РТП РИО СЗТУ
Северо-Западный государственный заочный технический университет
член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России
191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
* Иногда апеллируя к привычным геометрическим представлениям, элементы линейного пространства называют не векторами, а точками; естественно, такое изменение названия не влечет никаких изменений в содержании изложенного.