доказать что произведение многочленов
Доказать что произведение многочленов a(во второй степени)+2ab+4b(во второй степени) и a-2b равно частному от деления
Ответ или решение 2
Докажем, что произведение многочленов a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2 и a – 2 * b равно частному от деления многочлена 5 * a ^ 4 * b – 40 * a * b ^ 4 на одночлен 5 * a * b
Запишем используемые формулы для доказательства тождества:
Запишем выражение в виде:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a ^ 4 * b – 40 * a * b ^ 4)/(5 * a * b);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a * b * a ^ 3 – 5 * 8 * a * b * b ^ 3)/(5 * a * b);
Вынесем в правой части выражения в дроби в числителе общий множитель и получим:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a * b) * (1 * a ^ 3 – 1 * 8 * 1 * b ^ 3)/(5 * a * b);
Числитель и знаменатель в дроби в правой части выражения сокращаем на 5 * a * b, тогда получим:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = 1 * (1 * a ^ 3 – 1 * 8 * 1 * b ^ 3)/1;
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a ^ 3 – 8 * b ^ 3);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a ^ 3 – 2 ^ 3 * b ^ 3);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a ^ 3 – (2 * b) ^ 3);
Используя формулу сокращенного умножения (a ^ 3 – b ^ 3) = (a – b) * (a ^ 2 + a * b + b ^ 2) упростим выражение
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + a * 2 * b + (2 * b) ^ 2);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + a * 2 * b + 2 ^ 2 * b ^ 2);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2);
Правую и левую часть выражения делим на (a – 2 * b), тогда получаем:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b)/(a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2)/(a – 2 * b);
В правой и левой части выражения числитель и знаменатель в дроби сокращаем на (a – 2 * b), тогда получим:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * 1/1 = 1 * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2)/1;
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) = (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2);
Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:
a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2;
Отсюда получили, что тождество (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a ^ 4 * b – 40 * a * b ^ 4)/(5 * a * b) верно.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Многочлен – сумма одночленов.
Любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых это число, не равное нулю.
Произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.
Чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Это мы научились выполнять на предыдущем занятии.
Сегодня мы будем находить произведение многочленов.
Для начала выясним, что такое произведение многочленов.
Оказывается, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена другого многочлена. Т. е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Например, так выглядит произведение многочленов а + с и многочлена х + у.
Найдите произведение многочленов а + с и х + у.
Видно, что произведение двух многочленов не зависит от того, какой из многочленов будем мы умножать.
Если поменяем полученные равенства местами, то получим разложение многочлена на множители.
ах + ау + сх +су = (а + с)(х + у)
Введём определение разложения многочлена на множители.
Разложением многочлена на множители называют его преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.
Пример. Разложите многочлен на множители
Для этого возьмём любое число, не равное нулю, например, пять, вынесем его за скобки. Получается разложение на множители, один из которых имеет нулевую степень (это число пять), а другой – ту же степень, что и исходный многочлен (степень многочлена один).
Стоит отметить, что, если при умножении многочленов, один из них не представлен (или записан) в нестандартном виде, то его сначала можно привести к стандартному виду, а затем выполнить вычисления. В противном случае вычисления могут быть более сложными.
Найдём двумя способами произведение многочленов (2а – 4с + а)( х + 3у +х).
Первый способ: сначала приведём к стандартному виду тот многочлен, который записан не в стандартном виде, и затем выполним умножение.
Второй способ: будем выполнять умножение сразу, а затем приводить полученный многочлен к стандартному виду.
Запись первым способом короче, но результат вычислений одинаковый.
Выполним ещё одно задание.
Найдём произведение многочленов.
Данное выражение будет равно нулю.
Следовательно, произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.
Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.
Для этого на рисунке выделим 6 прямоугольников (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами у и с, третий – со сторонами а и k, четвёртый – со сторонами а и х, пятый – со сторонами у и k, шестой – со сторонами у и х).
Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, можно найти площадь каждого из шести прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, как произведение двух его смежных сторон (а + у) и (с + k + х).
Что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Упростите выражение.
Это верное выражение.
Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение многочленов, раскрывать скобки, выполнять разложение многочленов на множители.
Произведение многочленов
Вы будете перенаправлены на Автор24
Правило вычисления произведения многочленов.
Для того чтобы рассмотреть произведение многочленов, для начала вспомним, как умножить одночлен на многочлен.
Произведение одночлена и многочлена находится следующим образом:
Рассмотрим теперь умножение двух многочленов на примере:
Вначале запишем произведение многочленов:
Получили произведение одночлена на многочлен. Найдем его по выше изложенному правилу.
Сделаем обратную замену:
В данном выражении мы видим присутствие трех произведений одночленов на многочлен. Найдем их по отдельности по выше изложенному правилу:
Перепишем наше выражение:
Раскроем скобки. Напомним, что если перед скобками стоит знак плюс, то знаки в скобках остаются неизменными, а если перед скобками стоит знак минус, то знаки в скобках изменятся на противоположные. Получим
Получили многочлен. Осталось только привести его к стандартному виду. Итого, в ответе, получим:
Присмотревшись к полученному результату, мы получим следующее правило умножения многочлена на многочлен:
Правило: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, значит умножение закончено.
Примеры задач на произведение многочленов
Выполнить умножение многочлена на многочлен:
Решение:
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Приведем данный многочлен к стандартному виду:
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, следовательно:
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Приведем данный многочлен к стандартному виду:
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Приведем данный многочлен к стандартному виду:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021
Вот ответ, и не благодари).
Помогите пж 1) Одночленом называется произведение чисел, ____________ и их степеней?
Помогите пж 1) Одночленом называется произведение чисел, ____________ и их степеней.
2) Числовой множитель одночлена называют _________________ 3) Многочлен – это ___________нескольких __________________ 4) Если в многочлене отсутвуют__________________члены и каждый из них одночлен ______________вида, то такой многочлен называют многочленом___________вида.
5) Степенью многочлена стандартного вида называ.
Найди произведение многочлена и одночлена (Срочно, пожалуйста)?
Найди произведение многочлена и одночлена (Срочно, пожалуйста).
Найти произведение многочлена и одночлена номер 225 (2, 4)?
Найти произведение многочлена и одночлена номер 225 (2, 4).
Найди произведение многочлена и одночлена (−27)⋅(m−y + p)?
Найди произведение многочлена и одночлена (−27)⋅(m−y + p).
Помогите решить пример на «деление одночлена и многочлена на одночлен»?
Помогите решить пример на «деление одночлена и многочлена на одночлен».
Найди произведение многочлена и одночлена (−19)⋅(m−n + z)?
Найди произведение многочлена и одночлена (−19)⋅(m−n + z).
Выполните деление многочлена 4х ^ 6 у² + 36х³у⁴ на одночлен 2х²у²?
Выполните деление многочлена 4х ^ 6 у² + 36х³у⁴ на одночлен 2х²у².
Доказать что произведение многочленов
Ключевые слова конспекта: произведение многочленов, умножение одночлена на многочлен, умножение многочлена на многочлен.
1. Умножение одночлена на многочлен
Пусть требуется умножить одночлен 2а 3 на многочлен 3а 4 – 4а 2 + а.
Составим произведение 2а 3 (3а 4 – 4а 2 + а).
При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:
Распределительный закон умножения относительно сложения, на котором основано правило умножения одночлена на многочлен, древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. доказывал на языке «геометрической алгебры»: если одна из сторон прямоугольника является суммой нескольких отрезков, то площадь всего прямоугольника можно найти как сумму площадей его частей. Например, если а = а 1 + а 2 + а 3 – одна сторона прямоугольника, b – его вторая сторона, то площадь прямоугольника равна ab = (ах + а 2 + а 3 )b = ах 6 + а 2 b + а 3 b. Если считать а = а 1 + а 2 + а 3 многочленом, а b – одночленом, то мы получим правило умножения многочлена на одночлен.
В рассмотренном примере мы представили произведение одночлена и многочлена в виде многочлена. Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена. Причём степень произведения будет равна сумме степеней одночлена и данного многочлена.
Пример 1. Умножим одночлен –3ху на многочлен 2х 2 у + 4ху 2 – 1.
Имеем:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –3ху • 2х 2 у + (–3ху) • 4ху 2 + (–3ху) • (–1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.
Запись можно вести короче, не выписывая промежуточные результаты:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.
Каждое из произведений преобразуем в многочлен и сложим полученные многочлены:
4а(2а + 5) + 2а(3а – 1) – 1,5а(2а – 4) = 8а 2 + 20а + 6а 2 – 2а – 3а 2 + 6а = 11а 2 + 24а.
2. Умножение многочлена на многочлен
Пусть требуется умножить многочлен а + b на многочлен с + d. Составим произведение этих многочленов:
(а + b)(c + d).
Обозначим двучлен а + b буквой х и воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
(а + b)(с + d) = х(с + d) = хс + xd.
В выражение хс + xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
хс + xd = (а + b)c + (а + b)d = ас + bc + ad + bd.
Итак,
(а + b)(c + d) = ас + bc + ad + bd.
Этот же результат для положительных а, b, с, d можно увидеть на рисунке, интерпретируя, вслед за Евклидом, произведение двучленов как площадь прямоугольника.
Произведение (а + b)(с + d) мы представили в виде многочлена ас + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, которые получаются при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + d.
Мы пришли к следующему правилу:
При умножении многочлена а + b на многочлен с + d мы снова получили многочлен. Вообще произведение двух любых многочленов можно представить в виде многочлена. При этом если многочлен, содержащий m членов, умножается на многочлен, содержащий n членов, то в произведении получается многочлен, состоящий из mn членов (до приведения подобных членов). Этим удобно пользоваться для самоконтроля.
Пример 1. Умножим 3а 2 – 4аb + b 2 на многочлен 2а – b.
Умножение многочленов можно выполнять в столбик.
Из приведённого примера можно сделать полезный вывод: степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов–множителей. Действительно, первый множитель – многочлен степени 2, второй – двучлен степени 1, а их произведение – многочлен степени 2 + 1 = 3.
Рассмотрим пример умножения двух многочленов с одной переменной.
Пример 2. Представим в виде многочлена стандартного вида произведение многочленов 2x 2 – 3х + 1 и 5x + 4.
(2х 2 – 3х + 1)(5х + 4) = 10х 3 + 8х 2 – 15х 2 – 12х + 5х + 4 = 10х 3 – 7х 2 – 7х + 4.
Старшие коэффициенты многочленов–множителей равны 2 и 5, а старший коэффициент произведения равен 10. Свободные члены многочленов–множителей равны 1 и 4, а свободный член произведения многочленов равен 4. Легко видеть, что старший коэффициент произведения многочленов равен произведению старших коэффициентов множителей. Аналогично, свободный член произведения многочленов равен произведению свободных членов многочленов–множителей.
Пример 3. Упростим выражение (3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3).
Умножим многочлен 3х – 4 на многочлен 2х + 1, а многочлен х – 2 – на многочлен 6х + 3 и вычтем из первого произведения второе:
(3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3) = (6х 2 – 8х + 3х – 4) – (6х 2 + 3х – 12х – 6) =
= 6х 2 – 8х + 3х – 4 – 6х 2 – 3х + 12х + 6 = 4х + 2.
Это конспект по математике на тему «Произведение многочленов». Выберите дальнейшие действия: