доказать что пространство полное

∑ i = 1 n ( x i ( k ) − x i ( m ) ) 2 ϵ <\displaystyle <\sqrt <\sum _^\left(x_^<(k)>-x_^<(m)>\right)^<2>>> .

| x n ( t ) − x m ( t ) | ϵ <\displaystyle |x_(t)-x_(t)| ,

это означает, что последовательность < x n ( t ) ><\displaystyle \(t)\>> сходится равномерно, а так как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция

x ( t ) = lim n → ∞ x n ( t ) <\displaystyle x(t)=\lim _x_(t)>

Если в неравенстве

| x n ( t ) − x m ( t ) | ϵ <\displaystyle |x_(t)-x_(t)| ,

Пример 6. Покажем что пространство непрерывных функций C 2 [ − 1 ; 1 ] <\displaystyle C_<2>[-1;1]> не является полным. Рассмотрим последовательность непрерывных функций вида

Последовательность < g n ><\displaystyle \\>> является фундаментальной. Действительно, рассмотрим две функции g n <\displaystyle g_> и g m <\displaystyle g_> , они отличаются друг от друга лишь на отрезке ширины

причём абсолютная величина различия не превышает 1, следовательно

Однако последовательность < g n ><\displaystyle \\>> не сходится ни к одной непрерывной функции из C 2 [ 0 ; 1 ] <\displaystyle C_<2>[0;1]> . Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную функцию f ∈ C 2 [ − 1 ; 1 ] <\displaystyle f\in C_<2>[-1;1]> и разрывную функцию

В силу интегрального неравенства Минковского (это неравенство справедливо и для кусочно-непрерывных функций):

∫ − 1 1 [ f ( t ) − g ( t ) ] 2 d t ≤ ∫ − 1 1 [ f ( t ) − g n ( t ) ] 2 d t + ∫ − 1 1 [ g n ( t ) − g ( t ) ] 2 d t <\displaystyle <\sqrt <\int \limits _<-1>^<1>[f(t)-g(t)]^<2>dt>>\leq <\sqrt <\int \limits _<-1>^<1>[f(t)-g_(t)]^<2>dt>>+<\sqrt <\int \limits _<-1>^<1>[g_(t)-g(t)]^<2>dt>>> .

∫ − 1 1 [ g n ( t ) − g ( t ) ] 2 d t ≤ 2 n <\displaystyle \int \limits _<-1>^<1>[g_(t)-g(t)]^<2>dt\leq <\frac <2>>>

lim n → ∞ ∫ − 1 1 [ g n ( t ) − g ( t ) ] 2 d t = 0 <\displaystyle \lim _\int \limits _<-1>^<1>[g_(t)-g(t)]^<2>dt=0> .

Теоремы о полных пространствах [ править ]

Теорема 2 (о вложенных шарах). Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Последовательность центров x n <\displaystyle x_> является фундаментальной, так как

По определению пересечения множеств

Следующий номер n_<1>>»> n 2 > n 1 <\displaystyle n_<2>>n_<1>> n_<1>>»/> выберем таким образом, чтобы при n_<2>>»> n > n 2 <\displaystyle n>n_<2>> n_<2>>»/> выполнялось неравенство

Пусть мы уже выбрали номера

Номер n_>»> n k + 1 > n k <\displaystyle n_>n_> n_>»/> выберем так, чтобы при n_>»> n > n k + 1 <\displaystyle n>n_> n_>»/> выполнялось неравенство

Доказательство проведём от противного.

и так далее. Таким образом можно получить последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров

радиусы которых стремятся к нулю, причём

По теореме о вложенных шарах пересечение

что противоречит исходному предположению. Теорема доказана.

Пополнение метрического пространства [ править ]

Полнота пространства является очень важным с точки зрения анализа свойством, так как в неполных пространствах не все фундаментальные последовательности имеют предел. Возникает вопрос: можно ли расширить неполное пространство таким образом, чтобы оно стало полным. Оказывается, что это всегда можно сделать, причём такое расширение является, по-существу, единственным.

Напомним, что множество

называется всюду плотным в M, если имеет место равенство

Справедлива следующая теорема:

Обозначать факт эквивалентности двух последовательностей будем следующим образом:

\\>\sim \\>> .

Используя аксиомы метрики, можно показать, что введённое нами отношение эквивалентности двух последовательностей является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

\\>\in \eta _<2>>

В силу неравенства четырёхугольника:

По неравенству четырёхугольника

\\>\sim \\>> ,

то по введённому определению эквивалентности

Таким образом, значение предела действительно не зависит от выбора последовательности.

Для доказательства аксиомы треугольника рассмотрим три класса эквивалентности

\eta _<3>\in R’> .

Выберем в каждом из этих классов по одной последовательности

Переходя в этом неравенстве к пределу, получим

y=\lim _y_> ,

Тогда при n_<0>>»> n > n 0 <\displaystyle n>n_<0>> n_<0>>»/> будем иметь

\lim _y_=y’> ,

а в пространстве R 2 <\displaystyle R_<2>>

\lim _y_=y»> ,

то в силу непрерывности метрики

Источник

Доказать что пространство полное

Прежде чем давать точное определение полноты пространства, сделаем некоторые пояснения. Рассмотрим пространство полиномов, заданных на отрезке [0, 1], снабженное нормой пространства С. Рассмотрим далее последовательность полиномов равномерно сходящуюся к функции е1, не являющейся, очевидно, полиномом. Мы видим, что для того чтобы последовательность оказалась сходящейся, в пространстве уже не хватило элементов. Пришлось выйти в более широкое пространство С. В этом смысле пространство является неполным. Однако для того чтобы обнаружить этот факт, пришлось привлечь элемент более широкого пространства С. В общем случае такое более широкое пространство может быть неизвестным, и поэтому словие полноты должно формулироваться в терминах исходного пространства. С этой целью гводится понятие фундаментальной последовательности.

Дадим точные определения.

Определение 1. Последовательность в нормированном пространстве В называется фундаментальной, если для любого числа существует такой помер что при всех

Теорема. Сходящаяся последовательность в нормированном пространстве является фундаментальной.

I Доказательство. Пусть последовательность сходится к элементу Тогда для любого числа существует номер такой, что при Для любых в силу неравенства треугольника имеем

откуда следует, что последовательность — фундаментальная. Теорема доказана.

Обратное утверждение: всякая фундаментальная последовательность является сходящейся — неверно. Чтобы это показать, вернемся к примеру, рассмотренному в начале этого пункта. Последовательность сходится в С и поэтому является фундаментальной в С. Ко так как в пространствах введены одинаковые нормы, то последовательность является также фундаментальной и в пространстве Но эта последовательность не является сходящейся в пространстве Итак, мы показали, что существуют фундаментальные последовательности, не являющиеся сходящимися. Кроме того, с помощью понятия фундаментальной последовательности мы описали в терминах самого пространства тот факт, который в начале этого пункта был описаи с привлечением элемешов более широкого пространства. Интуитивно понимаемое отсутствие полноты пространства выражено с помощью следующего утверждения: нашлась фундаментальная последовательность, которая не является сходящейся в пространстве

Определение 2. Нормированное пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем является сходящейся.

Докажем, что каждое подпространство полного нормированного пространства является полным пространством. Действительно, пусть В — полное нормированное пространство, его подпространство и фундаментальная последовательность в Тогда есть фундаментальная последовательность в , и поэтому она сходится к гекоторому элементу В силу замкнутости множества элемент принадлежит ему, откуда следует полнота пространства доказать, что каждое нормированное пространство может быть дополнено до полного. Мы, однако, этим заниматься не будем.

Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым пространством по имени Банаха. Полные бесконечномерные евклидовы пространства называются гильбертовыми пространствами по имени Гильберта.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Определить полноту пространства