доказать что сходящаяся последовательность достигает

Доказать что сходящаяся последовательность достигает

Рассмотрите два случая:

Примеры

Для всех трех примеров подойдет последовательность n 1 ​ с минимальными модификациями.

Константная последовательность

Рассмотрим случай, все члены x n ​ равны A :

x n ​ = sup x n ​ = in f x n ​ = n → ∞ lim ​ x n ​ = A

Неконстантные последовательности

Распишем по определению, что значит x n ​ → A :

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : ∣ x n ​ − A ∣ ε

∣ B − A ∣ = − ( B − A ) = A − B

Но N — конечное число, а значит мы имеем N первых элементов последовательности x n ​ :

∀ x t ​ ∈ < x t ​ >: x t ​ A − 2 A − B ​

Рассмотрим минимальный элемент множества < x t ​ >:

То есть x ​ меньше любого члена последовательности x n ​ (кроме самого x ​ ), но при этом сам является членом последовательности. По определению это означает, что

Примеры

Пример достижения только sup :

x n ​ = n 1 ​ n → ∞ lim ​ x n ​ = 0 sup x n ​ = x 1 ​ = 1

Пример достижения только in f :

x n ​ = − n 1 ​ n → ∞ lim ​ x n ​ = 0 in f x n ​ = x 1 ​ = − 1

x n ​ = ( − 1 ) n n 1 ​ in f x n ​ = x 1 ​ = − 1 sup x n ​ = x 2 ​ = 2 1 ​

А сходится эта последовательность по теореме о двух милиционерах, так как ее можно зажать между двумя сходящимися к 0 последовательностями:

− n 1 ​ ≤ ( − 1 ) n n 1 ​ ≤ n 1 ​

n → ∞ lim ​ ( − 1 ) n n 1 ​ = 0

Получите противоречие, рассмотрев вариант, когда последовательность не достигает супремума/инфинума и этот супремум/инфинум не является предельной точкой.

Если in f = sup

x n ​ = sup x n ​ = in f x n ​ = n → ∞ lim ​ x n ​ = A

Если in f  = sup

Будем рассматривать случай, когда sup не является пределом (для in f доказательство аналогичное).

По определению (см. прото-задачу П-ссылка) число sup является предельной точкой, когда

∀ ε > 0 ∀ N ∃ n > N : ∣ x n ​ − sup ∣ ε

Но наше число sup — не предельная точка (предельной точкой является A ), поэтому выполняется отрицание определения выше:

∃ ε > 0 ∃ N ∀ n > N : ∣ x n ​ − sup ∣ ≥ ε

Получили противоречие. Значит наше предположение о том, что sup ∈ / < x n ​ >оказалось неверным. Поэтому sup ∈ < x n ​ >, то есть последовательность x n ​ достигает своего супремума.

Источник

задан 14 Сен ’17 22:34

DaIvNi
840 ● 4 ● 24
69&#037 принятых

2 ответа

Если последовательность не постоянна (для постоянной все ясно), то в ней есть член t, не равный ее пределу. Рассмотрим эпсилон меньше расстояния от этого члена до предела, вне эпсилон-окрестности предела с таким эпсилон лежит лишь конечное число членов последовательности. Если член t меньше предела, то точной нижней гранью будет минимальный из членов, не попавших в выбранную эпсилон-окрестность предела, если же член t больше предела, то точной верхней гранью будет максимальный из членов, не попавших в выбранную эпсилон-окрестность предела.

отвечен 14 Сен ’17 22:57

@DaIvNi: а что именно непонятно? Либо t больше предела, либо меньше. В первом случае достижима т.в.г., так как она >=t, и членов с таким свойством конечное число. А если t меньше предела, то аналогично достижима т.н.г. В ответе всё изложено подробно и в деталях.

А как из последнего предложения следует то, что нам нужно доказать?

@DaIvNi: несколько странная ситуация получается. Изложено доказательство, и Вы просить доказать, что доказательство является доказательством 🙂

Тут рассмотрено два случая, один из которых точно имеет место. В первом случае доказано, что последовательность достигает т.н.г. Во втором доказано, что она достигает т.в.г. Значит, можно утверждать, что она достигает или т.н.г., или т.в.г. В условии задачи именно это и требовалось.

Источник