Доказать что треугольник abc подобен треугольнику a1b1c1
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C1 и B1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB1C1.
б) Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 45°, B1C1 = 6 и площадь треугольника AB1C1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB1C1.
Четырёхугольник BCB1C1 вписан в окружность, поэтому
Следовательно, треугольники ABC и AB1C1 подобны по двум углам.
б) Площадь треугольника AB1C1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB1C1, поэтому площадь треугольника ABC в девять раз больше площади треугольника AB1C1 и коэффициент подобия этих треугольников равен 3. Пусть тогда Найдём BB1 по теореме косинусов:
Теперь по теореме синусов из треугольника ABB1 получаем:
Но поскольку синусы смежных углов равны. Получаем
Теперь находим радиус окружности, описанной около треугольника BB1C:
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
тогда 
Найдём BB1 по теореме косинусов:
поскольку синусы смежных углов равны. Получаем
