доказать что треугольник это треугольник

Существующие треугольники

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

Доказательство теоремы

Источник

Треугольник (ЕГЭ 2022)

На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку. Что мы и сделали.

Но книжку целиком читать слишком долго, правда?

Поэтому мы сначала рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника.

Все это ты найдешь здесь. Но читай книжку по кусочкам, чтобы не «поперхнуться» 🙂

Треугольник — коротко о главном

Определение треугольника:

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные понятия:

Основные свойства:

Сумма внутренних углов любого треугольника равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), т.е. \( \displaystyle \angle 1+\angle 2+\angle 3=180<>^\circ \)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е. \( \displaystyle \angle 4=\angle 1+\angle 2\) или \( \displaystyle \angle 5=\angle 1+\angle 2\)

Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны, т.е. \( \displaystyle \beginAB+BC>AC\\AB+AC>BC\\AC+BC>AB\end\)

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е.

если \( \displaystyle \angle 2>\angle 1\), то \( \displaystyle AC>BC\), и наоборот,

если \( \displaystyle AC>BC\), то \( \displaystyle \angle 2>\angle 1\).

Признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними

2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.

3. Третий признак – по трём сторонам.

Сумма углов треугольника. Внутренние и внешние углы

Внутренние углы треугольника

Сумма внутренних углов любого треугольника равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника.

А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают.

У треугольника ещё бывают внешние углы.

И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), касается как раз внешнего треугольника.

Внешние углы треугольника

Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем \( \displaystyle AC\)) продолжаем.

Видишь, получился новый угол, \( \displaystyle \angle BCE\)?

Этот угол образован одной стороной (\( \displaystyle BC\)) треугольника и продолжением другой стороны (\( \displaystyle AC\)).

Вот он и называется внешним углом треугольника \( \displaystyle ABC\) при вершине \( \displaystyle C\).

Конечно, мы бы могли оставить сторону \( \displaystyle AC\), а продолжить сторону \( \displaystyle BC\). Вот так:

Тогда \( \displaystyle \angle ACK\) тоже будет внешним углом при вершине \( \displaystyle C\), да и к тому же он будет равен углу \( \displaystyle BCE\).

Углы \( \displaystyle BCE\) и \( \displaystyle ACK\) – равны как вертикальные, и оба они имеют право называться внешним углом при вершине \( \displaystyle C\).

А вот про угол \( \displaystyle ECK\) такого сказать ни в коем случае нельзя!

Он образован пересечением двух продолжений сторон!

Угол \( \displaystyle ECK\) вообще равен внутреннему \( \displaystyle \angle C\) треугольника \( \displaystyle ABC\).

Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Смотри, на нашем рисунке это означает, что \( \angle 4=\angle 1+\angle 2\).

Как же это связано с суммой углов треугольника?

Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \Rightarrow \)

\( \angle 1+\angle 2+\angle 3=180<>^\circ \),

но \( \angle 4+\angle 3=180<>^\circ \) – потому, что \( \angle 3\) и \( \angle 4\) – смежные.

Ну вот и получается: \( \angle 4=\angle 1+\angle 2\).

Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:

Сумма внутренних углов треугольника равна \( 180<>^\circ \), а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?

Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей.

И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного \( 100\) м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея \( 200\) метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж \( 500\) м по прямой».

Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»

Да потому что если от Коли до Пети \( 100\) м, а от Пети до Сергея \( 200\) м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше \( 300\) (\( =100+200\)) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.

Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой (\( КС\)) должен быть короче, чем путь с заходом в точку \( П\). (\( К-П-С\)).

Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами \( 1,3,7\)?

Равенство треугольников

Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:

Два треугольника равны, если они совпадают при наложении.

Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?!

Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников, которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.

Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много-много-много слов, которые будeт доказывать, что два треугольника совпадут при наложении.

Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил – треугольники совпадают при наложении» – тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.

Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки – их легче запомнить и применять:

Типы треугольников (прямоугольный, равнобедренный, равносторонний) и другая теория по треугольникам

В этом разделе ты сможешь ознакомиться со всем, что касается треугольников и закрыть эту тему полностью!

Просто переходи по ссылкам:

Бонусы: Вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

В этом разделе вы найдете несколько вебинаров из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике.

От самого простого (но важного!) на площадь фигур на клетчатой бумаге, до сложного 16 задания ЕГЭ на доказательство подобия треугольников (по которому максимальный балл получают менее 1% учеников!

Выбирайте вебинар по силам и учитесь решать задачи!

ЕГЭ 3. Площадь фигур на клетчатой бумаге

Клетчатая бумага очень удобная для геометрии. В основном тем, что на ней очень легко рисовать прямые углы.

А если прямой угол достроить к какому-то отрезку, то получится прямоугольный треугольник. А для прямоугольного треугольника можно записать теорему Пифагора — и вот уже мы определили длину нашего отрезка.

И хотя в 2021 году задача на геометрию на клечатой бумаге не будет входить в ЕГЭ, она очень полезна для того, чтобы начать изучать геометрию, для понимания планиметрии.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так.

Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ.

Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты.

Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в достоверности утверждении из прошлого урока о прямоугольных треугольниках https://youtu.be/ZKGTVfaiGe8) — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 6, 14, 16. Теорема косинусов и синусов

Универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов. Они подходят для любых треугольников, а не только для прямых (как теорема Пифагора).

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников для расчетных задач (не только для доказательств).

Источник

Доказать что треугольник это треугольник

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Равные треугольники

Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.

Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний (правильный) треугольник

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника

Угол между l c и l c ‘ = 90°

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

l a = 2 b c cos α 2 b + c

l b = 2 a c cos β 2 a + c

l c = 2 a b cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

h a = b sin γ = c sin β

h b = c sin α = a sin γ

h c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a, b, c — стороны треугольника,
h_a, h_b, h_c — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Источник