доказать что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Соотношения между сторонами и углами треугольника помогают сравнивать углы треугольника, зная соотношение его сторон, и наоборот.
(соотношения между сторонами и углами треугольника).
В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) против большего угла лежит большая сторона.
1) Дано : ∆ ABC, AC>AB.
Отложим на стороне AC отрезок AK: AK=AB.
Так как AC>AB, то точка K лежит между точками A и C. Следовательно, ∠ABC=∠ABK+∠KBC, то есть ∠ABC>∠ABK.
Так как AK=AB, то треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK.
Значит, у него углы при основании равны: ∠ABK=∠AKB.
Для треугольника BCK ∠AKB — внешний.
Поэтому ∠AKB=∠KBC+∠C, а значит, ∠AKB>∠C.
\angle ABK\\ \angle ABK = \angle AKB\\ \angle AKB > \angle C \end
(методом от противного).
Предположим, что неравенство AC>AB — неверное. Тогда либо AC=AB, либо AC
Если AC=AB, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC и у него углы при основании равны: ∠B=∠C, что противоречит условию.
По доказанному в пункте 1), против большей стороны лежит больший угол. Поэтому, если AC
Значит, выдвинутое нами предположение неверно. Следовательно, AC>AB.
2 Comments
опечатка!
В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
1) против большего угла лежит большая сторона.
Доказать что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона
§ 30. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.
Пусть в /\ АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (черт. 164).
Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.
Угол ВDС — внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.
Так как / ВСD = / ВDС, то и угол ВСD больше угла А: / ВСD > / A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A.
Доказать самостоятельно ту же теорему по чертежу 165, когда ВD = АВ.
В § 18 мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. е. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Докажем теперь обратные теоремы.
Теорема 2. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.
Пусть в /\ AВС / A = / С (черт. 166). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный.
Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений:
Докажем, что АВ > АС.
Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений:
Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то / С был бы равен / В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС
Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию.
Следовательно, возможен только один случай, а именно:
Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона.
Следствие. В прямоугольном треугольнике. гипотенуза больше любого из его катетов.
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
| В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. |
1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС (рис. 127, а). Докажем, что ∠C > ∠B.
Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 127,6). Так как AD ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠C > ∠1, ∠1=∠2, ∠2 > ∠B. Отсюда следует, что ∠C > ∠B.
2) Пусть в треугольнике ABC ∠C > ∠B. Докажем, что АВ > АС.
Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ ∠C (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: ∠C > ∠B. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Теорема доказана.
| В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. |
В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.
| Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника). |
Докажем этот признак. Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против неё, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).
Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
Перечень рассматриваемых вопросов:
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против большего угла лежит большая сторона.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее, на уроках геометрии, вы познакомились с различными фигурами, в том числе и с треугольником.
Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим соотношение между его элементами.
Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Отложим на стороне AB отрезок, равный стороне AC.
Угол 2 – внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B (по свойству внешнего угла треугольника).
∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC (по свойству равнобедренного треугольника).
Справедлива и теорема, обратная данной. Против большего угла лежит большая сторона.
Предположим, что АВ = АС или АВ ∠ В.
Поэтому наше предположение неверное → AB > AC.
Докажем два следствия из этих теорем.
1 следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Дано: ∆АВС – прямоугольный.
Доказательство: ∠В > ∠А, т. к. ∠В = 90° ( по условию), ∠А –острый → АС > СВ (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника: против большего угла лежит большая сторона).
Что и требовалось доказать.
Докажем второе следствие из этих теорем.
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Это следствие называется признак равнобедренного треугольника.
Доказать: ∆АВС – равнобедренный
Докажем, что АВ = ВС.
Что и требовалось доказать.
Докажем теорему по соотношению между сторонами треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Доказать: АВ ∠1 (так как угол 1 часть угла АВD), →∠ABD > ∠2 (так как ∠1 = ∠2).
Так как против большего угла лежит большая сторона (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника) → AB ВН (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).
Рассмотрим ещё случай АВ = ВС → ∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника). То ВМ = ВН (по свойству равнобедренного треуголника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию)→ ВМ ≥ ВН.
Что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1 Дано: ABC, равнобедренный, вычислите чему равна третья сторона треугольника, если две других равны 8 см и 4 см?
Объяснение: По определению равнобедренного треугольника, две его боковые стороны равны, следовательно это будет сторона равная 4 см или 8см.
Сторона 4см не может быть, т. к. 8см = 4 см + 4 см., что противоречит теореме о соотношениях между сторонами треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Предположим, что боковые стороны равны 8 см. Тогда, по теореме о соотношениях между сторонами треугольника, каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, получим следующее соотношение между сторонами треугольника: