доказать что высоты ромба равны
Ромб. Свойства и признаки ромба
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.
Свойства ромба
1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
Помимо этого:
2. Диагонали ромба перпендикулярны.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.
Признаки ромба
Чтобы параллелограмм 
оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:
1. Все стороны параллелограмма равны между собой (
).
2. Диагонали пересекаются под прямым углом (
).
3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Ромб и его свойства, определение и примеры с решением
Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).
Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.
1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.
2. У ромба противолежащие углы равны.
3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр ромба 
Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.
5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Доказательство:
Пусть 
и 
— диагонали ромба 
(рис. 49), 
— точка их пересечения. Поскольку 
и 
то 
— медиана равнобедренного треугольника 
проведенная к основанию 
Поэтому 
является также высотой и биссектрисой треугольника 
Следовательно, 
и 
Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол 
а диагональ 
делит пополам углы 
и 
Пример:
Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.
Решение:
Пусть 
— диагональ ромба 
а 
— его высота (рис. 50), 
= 28°.
1) В 
2) Так как 
делит угол 
пополам, то 
3) Тогда 
Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.
Рассмотрим признаки ромба.
Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.
Доказательство:
1) Пусть 
— параллелограмм (рис. 48). Так как 
(по условию) и 
(по свойству параллелограмма), то 
Следовательно, 
— ромб.
2) Пусть 
(рис. 49). Поскольку 
(по свойству параллелограмма), то 
(по двум катетам). Следовательно, 
По п. 1 этой теоремы 
— ромб.
3) Диагональ 
делит пополам угол 
параллелограмма 
(рис. 49), то есть 
Так как 
— секущая, то 
(как внутренние накрест лежащие). Следовательно, 
Поэтому по признаку равнобедренного треугольника 
— равнобедренный и 
По п. 1 этой теоремы 
— ромб.
Пример:
Доказательство:
Пусть 
(рис. 48).
1) Так как противолежащие стороны четырехугольника 
попарно равны, то 
— параллелограмм по признаку параллелограмма.
2) У параллелограмма 
соседние стороны равны. Поэтому 
— ромб (по признаку ромба).
Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.
В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Ромб, его свойства и признаки.
Ромб, его свойства и признаки.
Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов
, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).
3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.
Доказать: – биссектриса и
Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.
Итак, ромб обладает следующими свойствами :
У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.
У ромба противоположные углы равны.
У ромба высоты равны.
Теперь определим признаки ромба.
ТЕОРЕМА ( I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.
– ромб (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. 
по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).
ТЕОРЕМА ( III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом. 
ТЕОРЕМА ( IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
ТЕОРЕМА ( V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.
Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.
Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.
Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.
Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.
В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.
Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.
Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.
Ромб, его свойства и признаки.
В теоретической части разработки дано определение ромба, перечислены и доказаны его свойства, перечислены и доказаны признаки ромба. К каждому понятию приведены рисунки. Практическая часть содержит большое количество заданий на любой вкус, есть простые задачи, а есть те, над которыми нужно подумать.
Просмотр содержимого документа
«Ромб, его свойства и признаки.»
Ромб, его свойства и признаки.
Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано: 
– ромб
и 
диагонали.
Доказать: 
.
Для того, чтобы доказать, что , нам нужно доказать, что хотя бы один из четырёх углов, которые получаются при пересечении диагоналей, равен 
.
1. Рассмотрим 
и 
.
по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. 
.
2. 
и 
– смежные, значит, по свойству смежных углов 
, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).
3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.
Дано: – ромб
и диагонали.
Доказать: – биссектриса и
Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.
Дано: – ромб
Итак, ромб обладает следующими свойствами:
У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.
У ромба противоположные углы равны.
У ромба высоты равны.
Теперь определим признаки ромба.
ТЕОРЕМА (I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – ромб.
Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.
– ромб (по определению), ч.т.д.
Т ЕОРЕМА (II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – ромб.
по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).
Т ЕОРЕМА (III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
– диагональ
– биссектриса
Доказать: – ромб.
ТЕОРЕМА (IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – ромб.
ТЕОРЕМА (V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – ромб.
Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.
Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.
Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.
Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.
Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
Точки – середины сторон ромба . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольником.
В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.
В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.
Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.
Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.