доказательство что любой треугольник равнобедренный
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Содержание:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
Доказательство теоремы:
Вывод:
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Доказательство теоремы:
Доказательство от противного.
Признаки равнобедренного треугольника
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
Формулы длины стороны (основания — b):
Формулы длины равных сторон — (а):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Площадь равнобедренного треугольника
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):
Равнобедренный треугольник (ЕГЭ 2022)
Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные и равнобедренные.
Чем же эти виды треугольников такие уж особенные?
Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными «действующими лицами» задач ЕГЭ первой части.
А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии.
Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.
Равнобедренный треугольник — коротко о главном
Определение равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.
Свойства равнобедренного треугольника
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \displaystyle \angle A\ =\angle C\);
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: \( \displaystyle BH\) — высота, медиана и биссектриса.
Признаки равнобедренного треугольника
Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;
Если в некотором треугольнике совпадают высота и биссектриса или высота и медиана или медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.
Определение равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.
Посмотри как это выглядит:
Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.
Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.
И снова внимание на картинку:
Может быть, конечно, и так:
Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.
Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?
Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?
Высота равнобедренного треугольника
Высота — это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.
Итак, провели высоту. Что же получилось?
Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.
Это уже хорошо, но так получится в любом, даже самом «кособедренном» треугольнике.
Тоже два прямоугольных….
Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:
Видишь, два прямоугольных треугольника (Δ𝐴𝐵𝐻 и Δ𝐶𝐵𝐻) – одинаковые!
Или, как математики любят говорить? Равные!
Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.
Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.
Доказательство равенства треугольников
Посмотри внимательно, у нас есть:
И, значит, \( \displaystyle AH\text< >=\text< >CH\)!
Да мы просто найдём и \( \displaystyle AH\), и \( \displaystyle CH\) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что \( \displaystyle AB=BC\))
Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.
Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).
Видишь, как интересно? Получилось, что:
Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)
Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.
Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?
То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?
Признаки равнобедренного треугольника
И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?
Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник –равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).
Если в каком-то треугольнике высота и медиана, или высота и биссектриса, или биссектриса и медиана, проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.
Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:
Если совпадают высота и биссектриса, то:
Если совпадают биссектриса и медиана, то:
Ну вот, не забывай и пользуйся:
Как пользоваться признаками равнобедренного треугольника при решении задач
Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.
2 задачи на равнобедренный треугольник
Задача 1 (самая простая)
В треугольнике \( \displaystyle ABC\) стороны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle AC\) равны, а \( \displaystyle \angle BAC=70<>^\circ \).
Найти \( \displaystyle \angle ABC\).
Решение
Что здесь основание? Конечно, \( \displaystyle BC\).
Вспоминаем, что если \( \displaystyle AB=AC\), то и \( \displaystyle \angle B=\angle C\).
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.
Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
AB и BC – боковые стороны ∆ABC.
Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.
Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.
AF– биссектриса ΔABC
Доказать: AF – медиана и высота.
Справедливы и следующие утверждения.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
AF – медиана ∠ВАС ΔABC
Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.
∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).
∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).
∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).
Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.
Разберем задачу на доказательство.
Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.
По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).
Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).
Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.
Что и требовалось доказать.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.
Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
АС = АВ = х + 4 (по условию).
Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,
х = 14 см – основание BC.
На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.
Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:
АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).