докажите что диагонали квадрата являются биссектрисами его углов
Четырехугольники
теория по математике 📈 планиметрия
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Выпуклый четырехугольник
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.
Определение
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Виды и свойства выпуклых четырехугольников
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.
Прямоугольник
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Виды трапеций
Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.
углы А и С равны по 90 градусов
Средняя линия трапеции
Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.
Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.
По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.
Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.
с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:
Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Задание №1
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
| Цифры |
Решение
Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:
при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.
Итак, получили следующее:
1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.
Заполняем нашу таблицу:
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
| Цифры | 3 | 5 | 1 | 7 |
Записываем ответ: 3517
Задание №2
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).
Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».
Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.
Задание №3
Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.
Задание №4
Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).
Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м
Задание №5
Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.
| Номер магазина | Расход краски | Масса краски в одной банке | Стоимость одной банки краски | Стоимость доставки заказа |
| 1 | 0,25 кг/кв.м | 6 кг | 3000 руб. | 500 руб. |
| 2 | 0,4 кг/кв.м | 5 кг | 1900 руб. | 800 руб. |
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
Решение
Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:
1 магазин: 232х0,25=58 кг
2 магазин: 232х0,4=92,8 кг
Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:
1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)
2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.
Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:
1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.
2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.
Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Квадрат, его свойства и признаки.
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА ( I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом. 
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
ТЕОРЕМА ( III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
ТЕОРЕМА ( IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
ТЕОРЕМА ( V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
ТЕОРЕМА ( VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом. 
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом. 
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. 
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
Найдите периметр квадрата по данным на рисунке. 
Квадрат, его свойства и признаки.
В теоретической части разработки дано определение квадрата, перечислены и доказаны его свойства, перечислены и доказаны признаки квадрата. К каждому понятию приведены рисунки. Практическая часть содержит большое количество заданий на любой вкус, есть простые задачи, а есть те, над которыми нужно подумать.
Просмотр содержимого документа
«Квадрат, его свойства и признаки.»
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Дано: 
– прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
Т 
ЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Рассмотрим 
.
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, 
– медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. 
. Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. 
. Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Т ЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Дано: – ромб
Доказать: – квадрат.
Т ЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – квадрат.
Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.
Т ЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
Т ЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
В
четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
Н
айдите периметр квадрата по данным на рисунке.