докажите что медианы треугольника пересекаются в одной точке

Треугольник. Элементы треугольника

Урок 52. Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Треугольник. Элементы треугольника»

· назвать элементы треугольника;

· доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке;

· доказать, что биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке;

· доказать, что высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Треугольник – это одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии.

Итак, давайте отметим три точки А, В и С, которые не лежат на одной прямой, и соединим их отрезками. В результате получим геометрическую фигуру, которая и называется треугольником.

Точки , , – вершины треугольника, а отрезки , и – стороны треугольника.

Треугольник, который мы с вами построили, обозначают так:

И говорят «треугольник А Б Ц».

Поменяв буквы местами, этот же треугольник можно обозначить и таким образом:

Углы , , называют углами .

Кстати, углы треугольника можно обозначать и одной латинской буквой: например, ∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶.

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром треугольника. Т.е. периметр нашего треугольника равен .

Различают следующие виды треугольников:

— в зависимости от величины углов:

остроугольный (все углы треугольника острые, т.е. меньше 90 о );

прямоугольный (один из углов треугольника прямой, т.е. равен 90 о );

Нужно помнить, что стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия. Итак, две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

И третий вид треугольников: тупоугольный (один из углов треугольника тупой, т.е. больше 90 о ).

Затем, треугольники различают в зависимости от величины сторон:

разносторонний (все стороны разной длины);

равнобедренный (две стороны равны и называются боковыми, а третья сторона – основанием);

и равносторонний (все стороны равны между собой).

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон – равные углы. Любая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Любой треугольник имеет три медианы. Например, возьмём треугольник . Если точки , и – соответственно середины сторон , и , то отрезки , и – медианы этого треугольника.

Медианы, проведённые из вершин , и (или их длины) треугольника можно обозначить:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Любой треугольник имеет три биссектрисы. Возьмём некоторый треугольник и проведём биссектрису угла , – угла ∠𝐴𝐵𝐶 и – угла .

Биссектрисы, проведённые из вершин , и (или их длины) треугольника можно обозначить:

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из его вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Каждый треугольник имеет три высоты. Изобразим треугольник и отрезки , и , которые являются высотами нашего треугольника.

Высоты, проведённые из вершин , и (или их длины) треугольника можно обозначить:

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Поскольку в любом треугольнике три стороны, то треугольник имеет три средние линии. Средняя линия треугольника, соединяющая две данные стороны, параллельна третьей стороне, а её длина равна половине этой стороны.

Отметим свойства, которыми обладают медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке.

Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Докажем каждое из этих свойств по очереди.

Итак, три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник . Пересечение медиан следует из того, что – внутренний луч ; – внутренний луч .

Тогда отрезок является средней линией треугольника . Значит, и .

Обозначим середины отрезков – середина , – середина , тогда – средняя линия . Следовательно, и . Таким образом, и , следовательно, четырёхугольник – параллелограмм, диагонали которого и делятся этой точкой пополам, т.е. и .

Но тогда .

Что и требовалось доказать.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим треугольник . и биссектрисы треугольника. Обозначим буквой О точку их пересечения. Давайте из этой точки проведём перпендикуляры , и соответственно к прямым , и .

Ранее мы с вами доказали теорему о свойстве точек биссектрисы неразвёрнутого угла. Из этой теоремы следует, что

Т.е. точка О равноудалена от сторон угла . Значит, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника пересекаются в точке О.

Что и требовалось доказать.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Докажем это утверждение. Рассмотрим произвольный треугольник . Нам нужно доказать, что прямые , и , содержащие его высоты, пересекаются в одной точке.

Для этого проведём через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне. Т.е. через вершину проведём прямую параллельную стороне . Через вершину – прямую параллельную стороне . А через вершину – прямую параллельную стороне . Смотрите, у нас получился новый треугольник с вершинами , и . Рассмотрим его свойства. , значит, и . . Значит, и . Следовательно, четырёхугольник является параллелограммом. Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма попарно равны. Значит, , .

Следовательно, четырёхугольник является параллелограммом. Значит, . Таким образом, точка является серединой отрезка . Следовательно, высота – серединный перпендикуляр .

Аналогично точка 𝐴 является серединой отрезка и высота – серединный перпендикуляр . Точка является серединой отрезка и высота – серединный перпендикуляр .

Мы знаем, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Значит, и наши серединные перпендикуляры , и , проведённые к сторонам большого треугольника , пересекаются в одной точке. Обозначим её буквой О. Также мы показали, что эти же серединные перпендикуляры являются и высотами маленького треугольника . Значит, высоты треугольника пересекаются в одной точке, в точке О.

Что и требовалось доказать.

А теперь рассмотрим решения нескольких задач.

Периметр треугольника равен см. Одна сторона больше другой на см и меньше третьей на см. Найдите стороны треугольника.

Пусть одна сторона треугольника равна см, тогда другая будет см, а третья см. Известно, что периметр треугольника равен 50 см. Составим уравнение:

Решим это уравнение. Получим,

Тогда имеем одна сторона треугольника 18 см, вторая (см) и третья (см). Не забудем записать ответ.

В равнобедренном треугольнике найти неизвестные стороны, если отношение боковой стороны к основанию равно , а периметр равен см.

Пусть а – основание, – боковая сторона равнобедренного треугольника, тогда . Отсюда, . Тогда периметр треугольника будет равен:

Заменим . Приведём подобные и получим, что периметр равен:

Составим уравнение. Решим его. Тогда получим, что

Дан треугольник, стороны которого соответственно равны , и см. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Пусть дан треугольник . Точки , и — середины сторон , и , соответственно.

На этом уроке мы говорили о треугольниках. Рассмотрели их элементы. А также доказали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке. Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Источник