В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота пирамиды равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM = DN = 4 и АК = 3. а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны. б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
\( AC=16\sqrt <2>\) — как диагональ квадрата
По т Пифагора \( AS=12 \)
Заметим, что \( △AKM \) подобен \( △ASB \) по углу и пропорциональным сторонам.
Значит \( KM \) параллельна \( SB \)
Еще конечно же \( MN \) параллельна \( BC \) (т.к точки M и N находятся на одинаковом расстоянии от BC)
Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающихся прямые в одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то эти плоскости параллельны
Собственно первый пункт мы доказали
б) Нам нужно найти расстояние от точки K до пл-ти SBC, но так как плоскости параллельны (из пункта а), то все точки одной плоскости находятся на одинаковом расстояние до другой плоскости, давайте найдем расстояние от точки M до пл-ти SBC (так будет легче и ответ один и тот же).
В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM = DN = 4 и АK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
а) Отрезки AM и DN равны 4, поэтому прямые MN, AD и BC параллельны. Следовательно, плоскость сечения пересекает грань SAD по прямой KL, которая параллельна прямым AD и BC (точка K принадлежит прямой SD). Найдем боковое ребро пирамиды. Пусть O — центр основания пирамиды, тогда
Следовательно, треугольник AMK подобен треугольнику ASB, прямые MK и SB параллельны, откуда, учитывая, что прямые MN и BC параллельны, получаем, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Заметим, что прямая KL параллельна плоскости SBC, поэтому расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости SBC. Пусть R и Q — середины ребер BC и AD соответственно. Построим сечение пирамиды, проходящее через точки S, R и Q. Сечение содержит высоту пирамиды SO и T — середину прямой KL. Прямая BC перпендикулярна плоскости SQR. Опустим перпендикуляр QQ’ на прямую SR, тогда прямая QQ’ будет перпендикулярна плоскости SBC. Аналогично опустим перпендикуляр TT’ из точки T. Его длина является расстоянием от точки T до плоскости SBC, то есть искомым расстоянием. Найдем его:
Треугольники SQQ’ и STT’ подобны, поэтому откуда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM = DN = 4 и АK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
а) Отрезки AM и DN равны 4, поэтому прямые MN, AD и BC параллельны. Следовательно, плоскость сечения пересекает грань SAD по прямой KL, которая параллельна прямым AD и BC (точка K принадлежит прямой SD). Найдем боковое ребро пирамиды. Пусть O — центр основания пирамиды, тогда
Следовательно, треугольник AMK подобен треугольнику ASB, прямые MK и SB параллельны, откуда, учитывая, что прямые MN и BC параллельны, получаем, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Заметим, что прямая KL параллельна плоскости SBC, поэтому расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости SBC. Пусть R и Q — середины ребер BC и AD соответственно. Построим сечение пирамиды, проходящее через точки S, R и Q. Сечение содержит высоту пирамиды SO и T — середину прямой KL. Прямая BC перпендикулярна плоскости SQR. Опустим перпендикуляр QQ’ на прямую SR, тогда прямая QQ’ будет перпендикулярна плоскости SBC. Аналогично опустим перпендикуляр TT’ из точки T. Его длина является расстоянием от точки T до плоскости SBC, то есть искомым расстоянием. Найдем его:
Треугольники SQQ’ и STT’ подобны, поэтому откуда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Заметим, что AM : AB = AK : AS, значит, прямые MK и BS параллельны. Кроме того, прямые MN и BC также параллельны, поэтому плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Пусть точки P, Q и R — середины отрезков AD, BC и MN соответственно. Плоскости MNK и SBC параллельны, а плоскость SPQ перпендикулярна прямой BC, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки R до прямой QS. Опустим из точки R перпендикуляр RH на прямую SQ (рис. 2). Тогда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Пусть O — центр основания пирамиды (рис. 1), тогда
Заметим, что AM : AB = AK : AS, значит, прямые MK и BS параллельны. Кроме того, прямые MN и BC также параллельны, поэтому плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Пусть точки P, Q и R — середины отрезков AD, BC и MN соответственно. Плоскости MNK и SBC параллельны, а плоскость SPQ перпендикулярна прямой BC, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки R до прямой QS. Опустим из точки R перпендикуляр RH на прямую SQ (рис. 2). Тогда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
откуда
