докажите что sb высота пирамиды

24.10.202326.06.2023 admin 0 Comments

Докажите что sb высота пирамиды

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.

б) Из п а) кроме того, следовательно, Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.

Источник

Докажите что sb высота пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Докажите что sb высота пирамиды

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA= √21, SB = √85, SD = √57.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

а)Рассмотрим треугольник SAB, в котором по условию задания: SA= √21, AB = 8, SB = √57.Можно заметить, что

и согласно обратной теореме Пифагора треугольникSAB – прямоугольный, с гипотенузой SB и катетами SA и AB.

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами: SD = √57, SA= √21, AD = 6 (так как в основании пирамиды лежит четырехугольник, поэтому AD = BC). Здесь также:

и по обратной теореме Пифагора имеем прямоугольный треугольник SAD с гипотенузой SD и катетами SA и AD.

Так как , то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости и SA–высота пирамиды.

б)Так как ABCD – прямоугольник, то точка O лежит на пересечении его диагоналей и делит их пополам, то есть, O–середина отрезка BD. Сделаем построение – отрезок KO как средняя линия треугольника SAC, причем, . Тогда угол между SC и BDбудет также равен углу KOD.

Найдем косинус угла SOD из треугольника KOD. В соответствии с теоремой косинусов, имеем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник SDC (прямоугольный, так как и — по теореме о трех перпендикулярах получаем, что ). По теореме Пифагора:

Тогда KO = SC:2 = 11:2. Далее, диагональ

Следовательно, DO = DB:2 = 5. Точка K – середина SA, имеем: и

Получаем косинус угла:

Ответ:

Источник

Докажите что sb высота пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Докажите что sb высота пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

а) Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Рассмотрим квадрат ABCD. Треугольники MHB и CHD подобны по двум углам. Получаем:

Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Тогда, поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD.

В треугольнике SOB имеем:

Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.

б) Пусть h — высота пирамида ВСКМ, проведённая из вершины К. В треугольнике SOB имеем:

Площадь треугольника ВСМ равна

Объём пирамиды ВСКМ равен

Ответ: б)

Приведем решение пункта а) Ирины Шарго.

Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Пусть точка O — центр основания пирамиды. Тогда для треугольника AOB по теореме Менелая получим:

В треугольнике SOB имеем:

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 6, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 5. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 4 : 3. Ребро Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.

а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.

б) Найдите площадь сечения α.

а) Пусть точка N — середина ребра АС, прямая BN пересекает плоскость α в точке H, a SO — высота пирамиды SABC. Поскольку пирамида SABC правильная, точка пересечения медиан треугольника АВС совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBN. Следовательно. плоскость SBN перпендикулярна плоскости АВС.

Получаем, что прямая КН, являющаяся прямой пересечения плоскостей SBN и α, перпендикулярна плоскости АВС и параллельна прямой SO. В треугольнике SOB имеем:

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть L — такая точка на отрезке AM, что прямые LN и СМ параллельны, а H₁, — точка пересечения прямых BN и СМ. Тогда отрезок LN — средняя линия треугольника ACM, следовательно,

Таким образом, прямая СМ делит отрезок BN в таком же отношении, что и плоскость α, значит, плоскость а содержит точку С.

б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение — треугольник СКМ. В треугольнике SOB имеем:

По теореме косинусов в треугольнике BCM имеем:

Отрезок KH перпендикулярен плоскости ABC, а значит, и прямой CM. Следовательно, он является высотой треугольника CKM. Площадь треугольника CKM равна

Ответ: б)

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

а) Имеем Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому откуда BM = 4. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, FM || SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.

б) Прямая QE является пересечением плоскостей CEF и SBD, тогда из доказанного в предыдущем пункте следует, что QE || SB. Тогда Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем:

Плоскость SDB перпендикулярна плоскости основания, и H — проекция точки Q на плоскость основания лежит на отрезке DO. Из подобия треугольников DQH и DSO находим

Ответ:

Аналоги к заданию № 517200: 517238 525727 525746 Все

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC.

а) Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 8, SC = 6.

б) Проведём из точки B перпендикуляр BQ к MK, Q — середина MK. Точка Q является серединой высоты SO. Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей, QB⊥MK, OB⊥MK. Следовательно, ∠QBO — линейный угол искомого угла. Найдём QO.

Значит,

Ответ:

Какой ответ будет через arccos?

Это нетрудно подсчитать, используя формулу или основное тригонометрическое тождество.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 4 и диагональю BD = 7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

а) Имеем Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому откуда Тогда Треугольники ABS и AMF подобны, значит, Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.

б) Из доказанного в предыдущем пункте следует, что Тогда Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем:

Плоскость SDB перпендикулярна плоскости основания, и проекция H точки Q на плоскость основания лежит на отрезке DO. Из подобия треугольников DQH и DSO находим

Ответ:

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

а) Имеем DE = 9 − BE = 5. Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому откуда BM = 4. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, отрезок FM параллелен отрезку SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.

б) Из доказанного в предыдущем пункте следует, что отрезок QE параллелен отрезку SB. Тогда Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые рёбра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем

Плоскость SDB перпендикулярна плоскости основания, и проекция H точки Q на плоскость основания лежит на отрезке DO. Из подобия треугольников DQH и DSO находим

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 517200: 517238 525727 525746 Все

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

а) Имеем DE = 7 − BE = 4. Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому откуда BM = 3. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, отрезок FM параллелен отрезку SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 517200: 517238 525727 525746 Все

В основании пирамиды SABCD лежит ромб АВСD, сторона которого равна 8, а угол при вершине A равен 60°. Известно, что SA = 15, и, кроме того, SB = SD.

а) Докажите, что SC — высота пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью ASC и ребром SB.

а) Заметим, что так как угол ромба при вершине A равен 60°, ромб составлен из двух равносторонних треугольников ABD и BCD. Тогда диагональ AC равна удвоенной высоте этих треугольников, то есть

следовательно, треугольник SAC — прямоугольный, а прямые SC и AC взаимно перпендикулярны.

Пусть O — центр ромба, тогда прямая SO перпендикулярна прямой BD как высота равнобедренного треугольника SBD, кроме того прямые AC и BD взаимно перпендикулярны как диагонали ромба. Следовательно, прямая BD перпендикулярна грани SAC. Поэтому прямые SC и BD взаимно перпендикулярны, а значит, прямая SC перпендикулярна основанию ABCD.

б) В п. а) доказано, что прямая BD перпендикулярна грани SAC, следовательно, проекцией прямой SB на плоскость SAC является прямая SO и искомый угол равен углу BSO. Заметим, что:

Ответ:

В треугольной пирамиде SABC точка Е — середина ребра SA, точка F — середина ребра SB, О — точка пересечения медиан треугольника АВС.

а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т — середина SC, пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна а SB = 10.

а) Пусть точка D — середина AB, K — точка пресечения SD и EF, середина SD, а L — точка пересечения CK и SO. Тогда L — точка пересечения SO с плоскостью CEF. По теореме Менелая для треугольника DSO и прямой CK имеем:

б) Заметим, что прямая ET параллельна прямой AC, а прямая FT параллельна прямой BC. Следовательно, плоскости EFT и ABC параллельны. Будем искать косинус угла между плоскостями CEF и ABC. Плоскости CEF и EFT пересекаются по прямой EF, параллельной AB, поэтому прямая, по которой пересекаются плоскости CEF и ABC параллельна AB. Так как пирамида правильная, прямая CD перпендикулярна AB, а прямая CK перпендикулярна EF. Следовательно, нужно найти косинус угла KCD, равного углу LCO.

откуда а CO = 6.

Тогда откуда

Тем самым

Ответ: б)

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM = 4, SK : KB = 1 : 3.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

а) Пусть N — середина стороны AC. Проведем медиану NB основания пирамиды и высоту SO.

Рассмотрим треугольник SNB: BO относится к ON как 2:1, потому что NB — медиана, следовательно, ; через точку K проведем KH параллельно SO. Тогда KH перпендикулярен плоскости ABC и прямой NB в ней. Треугольники SOB и KHB подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

тогда H — середина стороны BN.

Теперь рассмотрим треугольник BAN. Для него выполняется равенство

значит, по теореме Менелая точки M, H и C лежат на одной прямой, тогда плоскость KMC проходит через прямую KH перпендикулярную плоскости ABC, следовательно, плоскости KMC и ABC перпендикулярны.

б) Рассчитаем объем BKCM:

Рассмотрим треугольник SOB. По теореме Пифагора:

Ответ:

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3 : 2, считая от вершины S.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3 : 1, где О — центр основания.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

а) Назовем точки пересечения плоскости сечения с боковыми ребрами пирамиды: M с SB, K с SC, N с SD. Отрезок MN пересекает SBD и, следовательно, прямая MN параллельна BD. Прямая SO пересекает плоскость SBD, поэтому точка, в которой SO пересекает плоскость сечения, это точка в которой прямая SO пересекает прямую MN. Назовем эту точку L.

Рассмотрим плоскость SAC, заметим, что Проведем из точки K отрезок KP параллельный прямой AC. Имеем: прямые KP и SO пересекаются в точке R. Тогда из подобия треугольников SPK и SAC находим: то есть треугольники KRL и AOL подобны с коэффициентом подобия Следовательно,

Это доказывает, что SL : LO = 3 : 1.

б) Так как плоскости ABCD и AMKN пересечены плоскостью SBD по двум параллельным прямым BD и MN, эти прямые параллельны ребру двугранного угла, образованного этими плоскостями. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, прямая AK перпендикулярна прямой MN по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, искомый угол равен углу CAK. Пусть K’ — проекция точки K на прямую AC, тогда

Таким образом,

Ответ: б)

Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна Высота пирамиды SO равна Найдите длину бокового ребра

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно, SO является высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора

В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

а) Поскольку SA = SC, точка S лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AC и проходящей через его середину M. Следовательно, O лежит на прямой BM. Обозначим высоту пирамиды за x, тогда Следовательно, и При этом поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO

Тогда и

Приведем вариант решения п. а) предложенный Елизаветой Римшей.

В треугольнике ABC высота По теореме Пифагора Напишем теорему косинусов для треугольника BMS:

Следовательно, — тупой и высота SO лежит вне треугольника.

Ответ:

В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята точка A так, что

а) В каком отношении плоскость ACD делит объем пирамиды?

б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SACD.

а) У пирамид SBDC и ABDC совпадают основания, а отношение их высот равно из-за подобия треугольников AHB и SOB (AH и SO — высоты пирамид). Значит, и искомое отношение объемов

Треугольники BAA₁ и BSM подобны c коэффициентом подобия поэтому

Приравняв выражения для получим

Знак «минус» означает, что точка К на самом деле лежит на продолжении отрезка МВ, то есть вне тетраэдра SACD.

Тогда

Заметим, что радиус сферы, описанной вокруг тетраэдра SBCD, тоже равен В самом деле, центр описанной сферы делит высоту тетраэра в отношении 3:1, считая от вершины, поэтому расстояние от точки М до центра сферы равно а радиус равен KS. Однако центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SBCD, лежит на отрезке МВ, то есть внутри тетраэдра, а центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SADC, лежит на продолжении отрезка МВ, то есть вне тетраэдра.

Ответ: а) б)

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

а) Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Из условия следует, что BK = 6, а BM = 3. Пусть K’ — точка пересечения CM и BD. В треугольнике BCM, имеем: BM = 3, BC = 4, следовательно, CM = 5. Отрезок BK’ — биссектриса в этом треугольнике, значит, откуда Пусть BK’ = x, применим теорему косинусов:

Корень является посторонним, так как то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что откуда

Тогда треугольники BKK’ и BSO подобны. Таким образом, KK‘ параллельна SO, а значит, плоскость CKM cодержит прямую KK’ перпендикулярную ABC. Следовательно, плоскости CKM и ABC перпендикулярны.

б) Так как прямая KK’ перпендикулярна плоскости ABC, она является высотой пирамиды BCKM с основанием BCM. Площадь треугольника BCM равна 6. Найдем KK’:

Тогда объем пирамиды BCKM равен

Ответ: б)

Примечание: Отрезок BK’может быть найден из более простых соображений. Заметим, что треугольники BK’M и CK’D подобны с коэффициентом подобия При этом откуда

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S стороны основания равны 18, а боковые ребра 15. Точка R принадлежит ребру SB, причем SR : RB = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

а) Пусть T — такая точка на SD, что отрезки RT и BD параллельны, тогда RT принадлежит сечению. Отрезок RT лежит в плоскости SBD и пересекает высоту SO в точке K. Таким образом, прямая CK также лежит в плоскости сечения SAC. Пусть L — точка пересечения CK и SA, это точка пересечения секущей плоскости с ребром SA. Отрезки SK и KO, SR и RB, ST и TD относятся друг к другу как 2 к 1, при этом SO — медиана треугольника SAC. Следовательно, K — точка пересечения его медиан и CL тоже медиана. Таким образом, SL = LA.

б) Сечением пирамиды является дельтоид CRLT, составленный из двух равнобедренных треугольников. Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей. Заметим, что

Найдем другую диагональ. Пусть L’ — проекция точки L на AC, тогда

Для искомой площади сечения получаем:

Ответ: б)

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС = 2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.

а) Вычислим следовательно, Теперь вычислим

откуда следовательно, QB = 4PB и

б) Проведем из точки P отрезок PT параллельно CQ, T лежит на ребре BC. Тогда APT — линейный угол двугранного угла при ребре SP, то есть искомый. Пусть AB = a, BC = SB = 2a. Тогда

следовательно,

Найдем угол APT из теоремы косинусов для треугольника APT:

откуда Таким образом,

Ответ: б)

Точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является основанием высоты SO пирамиды SABCD. Плоскость, параллельная плоскости ABC пересекает ребра AS, BS, CS и DS в точках и соответственно.

а) Докажите, что треугольники и равны.

б) Найдите объем пирамиды если и плоскость делит SO в отношении считая от вершины S.

а) Прямоугольные треугольники SOB и SOD равны по двум катетам, поэтому треугольник SBD — равнобедренный. Прямая параллельна прямой BD, поэтому Тогда треугольники и равны по первому признаку ( как половинки диагонали параллелограмма, как углы при основании равнобедренного треугольника), поэтому Аналогично Наконец, поскольку прямая параллельна прямой CD, прямая AB параллельна прямой то треугольники и SDC, а также и SBA подобны. Более того, коэффициенты подобия в обеих парах равны (поскольку из подобия и SAD). Поскольку то и Значит, треугольники и равны по третьему признаку.

б) Из прямоугольных треугольников SOB и SOA получаем:

Найдем площадь треугольника AOB по формуле Герона. Его периметр равен поэтому

Как известно, плоскость делит все отрезки из вершины S в одинаковом отношении, поэтому и откуда коэффициент подобия треугольников SAB и равен Теперь найдём объём пирамиды :