докажите что является натуральным числом значение выражения
Статья «Подготовка к олимпиаде»»
Докажите, что при любом натуральном n выражение n 3 + 23 n делится нацело на 6.
Докажем с помощью метода математической индукции (алгебра, 9 класс, п.29).
Утверждение верно при n = 1. Действительно, 1 3 + 23·1 = 24 и 24 делится на 6.
(k + 1) 3 + 23 (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 + 23k + 23 = (k 3 + 23k) + 3k 2 + 3k + 24 = (k 3 + 23k) + 3k(k + 1) + 24.
Слагаемое ( k 3 + 23 k ) делится на 6 по предположению, слагаемое 3 k ( k + 1) также делится на 6, т.к. оно делится на 3 и на 2, ведь числа k и k + 1 являются последовательными натуральными числами, а потому одно из них чётное. Число 24 кратно 6. Так как каждое слагаемое суммы кратно 6, то и сумма кратна 6. Ч.т.д.
Докажите, что для любых действительных чисел хотя бы одно из уравнений 
имеет действительный корень.
Второй способ. Дискриминанты этих уравнений равны соответственно
Если числа a , b и c неположительные, то дискриминанты больше или равны нулю и все уравнения имеют действительные корни.
Сколько нулей стоит в произведении всех натуральных чисел от 10 до 25?
Сколькими нулями оканчивается 130! = 1·2·3·…·130?
Решение. Количество нулей равно количеству множителей, кратных 5, + количество множителей, кратных 25, + количество множителей, кратных 125, т.е. 26 + 5 + 1 = 32.
Пояснение: 25 = 5·5, 125 = 5·5·5.
Известно, что 9 x 2 + 16 y 2 + 144 z 2 = 169. Найдите наибольшее возможное значение выражения 6 x – 4 y + 24 z .
Для скольких целых n число целое?
Пояснение. Преобразовывая данную дробь в виде суммы, мы фактически делили двучлен 2 n + 20 на двучлен n + 7 (алгебра, 9 класс, п.16. Некоторые приёмы решения целых уравнений).
Найти все натуральные значения n , при которых число является натуральным.
Решение. Выделим из данной дроби целую часть:
Так как число 14 имеет только четыре натуральных делителя (1; 2; 7 и 14), то данное выражение принимает натуральные значения, если 14 делится на ( n + 1), то есть при n = 1; 6 и 13. (Заметим, что равенство n + 1 = 1 в натуральных числах неразрешимо.)
Решение. ОДЗ: х ≠ 1. Используя свойство модуля | A | = |- A |, перепишем данное неравенство в виде:
Так как | A + B | ≤ | A | + | B | для любых А и В, то данное неравенство верно для любого х из ОДЗ.
Решение. x 4 + 2 x 2 + 1 = a – 7, ( x 2 + 1) 2 = a – 7.
Это уравнение не имеет корней, если a – 7 a a