градиент что это в математике
ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ
Смотреть что такое «ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ» в других словарях:
Градиент — Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.: Градиент (компьютерная графика) … Википедия
ГРАДИЕНТ — (лат.). Разность в барометрических и термометрических показаниях в разных местностях. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГРАДИЕНТ разность в показаниях барометра и термометра в один и тот же момент… … Словарь иностранных слов русского языка
градиент — Изменение значения некоторой величины на единицу расстояния в заданном направлении. Топографический градиент — это изменение высоты местности на измеренном по горизонтали расстоянии. [http://www.oceanographers.ru/index.php?option=com… … Справочник технического переводчика
Градиент (в биологии) — Градиент в биологии, закономерное количественное изменение морфологических или функциональных, в том числе и биохимических, свойств вдоль одной из осей тела организма (или органа) на любой стадии его развития. Примеры Г.: убывание содержания… … Большая советская энциклопедия
градиент характеристики срабатывания функции дифференциальной защиты — [Интент] Тематики релейная защита EN gradient of the differential protection tripping characteristic … Справочник технического переводчика
Градиент — [gradient] вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции и равный по величине ее производной в этом направлении: где символами ei обозначены единичные векторы осей координат (орты) … Экономико-математический словарь
ГРАДИЕНТ — одно из основных понятий векторного анализа и теории нелинейных отображений. Градиентом скалярной функции векторного аргумента из евклидова пространства Е n наз. производная функции f(t).по векторному аргументу t, то есть n мерный вектор с… … Математическая энциклопедия
Градиент физиологический — – величина, отражающая изменение к либо показателя функции в зависимости от другой величины; напр., градиент парциального давления разность парциальных дав лений, определяющая диффузию газов из альвеол (акцинусов) в кровь и из крови в… … Словарь терминов по физиологии сельскохозяйственных животных
Градиент — I Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis шагающий) Вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (см. Поля теория). Если величина… … Большая советская энциклопедия
Градиент — (от лат. gradiens шагающий, идущий) (в математике) вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой функции; (в физике) мера возрастания или убывания в пространстве или на плоскости какой либо физической величины на единицу… … Начала современного естествознания
Нахождение градиента вектор-функции
Дата публикации Oct 20, 2018
ВЧасть 1Нам поставили задачу: вычислить градиент этой функции потерь:
Градиент скалярной функции
Скажи, что у нас есть функция,f (x, y) = 3x²y, Наши частные производные:
Если мы организуем эти части в горизонтальный вектор, мы получимградиентизР (х, у), или∇ f (x, y):
6yxэто изменение вР (х, у)в отношении изменения вИкс, в то время как3x²это изменение вР (х, у)в отношении изменения вY,
Что происходит, когда у нас есть две функции? Давайте добавим еще одну функцию,g (x, y) = 2x + y⁸, Частные производные:
Таким образом, градиент g (x, y):
Представляющие функции
Когда у нас есть несколько функций с несколькими параметрами, часто полезно представлять их более простым способом. Мы можем объединить несколько параметров функций в один векторный аргумент,Иксэто выглядит следующим образом:
Следовательно,Р (х, у, г)станетF (x₁, x₂, x₃)который становитсяе (Икс).
Мы также можем объединить несколько функций в вектор, например так:
Для нашего предыдущего примера с двумя функциями,f (x, y) ⇒ f (Икс)а такжеg (x, y) ⇒ g (Икс).Здесь векторИкс= [x₁, x₂], гдеx₁ = х, а такжеx₂ = у, Чтобы упростить его еще больше, мы можем объединить наши функции: [f (Икс),г(Икс)] = [f₁ (Икс), f₂ (Иксзнак равноf (x) = y.
Зачастую количество функций и количество переменных будет одинаковым, поэтому для каждой переменной существует решение.
Градиент вектор-функции
Теперь, когда у нас есть две функции, как мы можем найти градиент обеих функций? Если мы организуем оба их градиента в одну матрицу, мы переместимся из векторного исчисления в матричное исчисление. Эта матрица и организация градиентов нескольких функций с несколькими переменными, известна какМатрица Якобиана,
Есть несколько способов представления якобиана. Этот макет, где мы укладываем градиенты по вертикали, известен какмакет числителя, но другие документы будут использоватьрасположение знаменателя, который просто переворачивает его по диагонали:
Градиент функции идентичности
Давайте возьмем функцию идентичности,у = ф (х) = х, гдеFi (Икс) = xiи найдите его градиент:
Так же, как мы создали наш предыдущий якобиан, мы можем найти градиенты каждой скалярной функции и сложить их вертикально, чтобы создать якобиан тождественной функции:
Поскольку это функция идентичности, f₁ (Икс) = x₁, f₂ (Икс) = х₂ и тд. Следовательно,
Частичная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю. Например, частная производная 2x² по y равна 0. Другими словами,
Поэтому все, что не на диагонали якобиана, становится равным нулю. Между тем, частная производная любой переменной по отношению к себе равна 1. Например, частная производнаяИксв отношенииИксравен 1. Следовательно, якобиан становится:
Градиент комбинаций вектор-векторных функций
Элементарные бинарные операторыявляются операциями (такими как сложениевес+Иксиливес>Икскоторый возвращает вектор единиц и нулей), который применяет оператор последовательно, начиная с первого элемента обоих векторов, чтобы получить первый элемент вывода, затем второго элемента обоих векторов, чтобы получить второй элемент вывода… и так далее.
Эта статья представляет поэлементные бинарные операции с такими обозначениями:
Здесь ◯ означает любой поэлементный оператор (например, +), а не композицию функций.
Итак, как вы находите градиент поэлементной операции двух векторов?
Поскольку у нас есть два набора функций, нам нужны два якобиана, один из которых представляет градиент относительноИкси один по отношению квес:
Большинство арифметических операций нам понадобятся простые, поэтомуе (ш)часто просто векторвес, Другими словами,Fi (Wi) = Wi, Например, операцияW + хподходит к этой категории, так как она может быть представлена каке (ж) + д (х)гдеfi (wi) + gi (xi) = wi + xi.
При этом условии каждый элемент в двух якобианах упрощается до:
На диагонали i = j, поэтому существует значение для частной производной. Вне диагонали, однако, i ≠ j, поэтому частные производные становятся равными нулю:
Мы можем представить это более кратко как:
Попробуем найти градиент функцииW + х, Мы знаем, что все вне диагонали равно 0. Значения частичных по диагонали относительновеса такжеИксявляются:
Давайте попробуем это с умножением:ш * х, Значения частностей по диагонали относительновеса такжеИксявляются:
Следовательно, градиент по отношению квесизш * хявляетсяDiag (Икс)в то время как градиент по отношению кИксизш * хявляетсяDiag (вес).
Применяя те же шаги для вычитания и деления, мы можем суммировать все это:
Градиент векторных сумм
Одной из наиболее распространенных операций в глубоком обучении является операция суммирования. Как мы можем найти градиент функцииу = сумма (Икс)?
у = сумма (Икс)также может быть представлен как:
Следовательно, градиент может быть представлен как:
А так как частная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю, ее можно дополнительно упростить следующим образом:
Обратите внимание, что результатом является горизонтальный вектор.
Как насчет градиентау = сумма (Иксг)? Единственное отличие состоит в том, что мы умножаем каждый частный с константой, z:
Хотя это является производной по отношению кИкс, производная по скаляруZэто просто число:
Градиент комбинаций векторных функций правила цепочки
ВЧасть 2мы узнали о правилах цепей с несколькими переменными. Однако это работает только для скаляров. Давайте посмотрим, как мы можем интегрировать это в векторные вычисления!
Давайте возьмем векторную функцию,Yзнак равное(Икс)и найти градиент. Давайте определим функцию как:
И то и другоеf₁ (х)а такжеf₂ (х)являются составными функциями. Введем промежуточные переменные дляf₁ (х)а такжеf₂ (х)и переписать нашу функцию:
Теперь мы можем использовать наше правило цепочки переменных, чтобы вычислить производную вектораY, Просто вычислите производнуюf₁ (х)а такжеf₂ (х)и поместите их один над другим:
Вуаля! У нас есть наш градиент. Однако мы пришли к нашему решению со скалярными правилами, просто сгруппировав числа в вектор. Есть ли способ представить правило цепи с несколькими переменными для векторов?
Прямо сейчас наш градиент вычисляется с помощью:
Обратите внимание, что первый член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₁надИкси второй член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₂надИкс Это как умножение матриц! Поэтому мы можем представить это как:
Давайте проверим наше новое представление правила цепочки векторов:
Мы получаем тот же ответ, что и скалярный подход! Если вместо одного параметраИксу нас есть векторный параметрИкснам просто нужно немного изменить наше правило, чтобы получить полное правило цепочки векторов:
В нашем примере выше,еэто чисто функцияг; то есть,фиявляется функциейсолдатно нетGJ(каждая функцияесоответствует ровно 1 функцииг),В этом случае все вне диагонали становится равным нулю, и:
Теперь у нас есть все части, которые мы находим в градиенте нейронной сети, с которой мы начали нашу серию:
Проверять, выписыватьсяЧасть 4чтобы узнать, как вычислить его производную!
Если вы еще этого не сделали, прочитайте части 1 и 2:
ЧитатьЧасть 4для грандиозного финала!
Скачать оригинал статьиВот,
Если вам понравилась эта статья, не забудьте оставить несколько хлопков! Оставьте комментарий ниже, если у вас есть какие-либо вопросы или предложения 🙂
ГРАДИЕНТ
Полезное
Смотреть что такое «ГРАДИЕНТ» в других словарях:
ГРАДИЕНТ — [от лат. gradiens (gradientis) шагающий], мера изменения какой либо физической величины в пространстве на единицу длины (расстояния) в том направлении, в котором она убывает наиболее быстро. Понятием градиента широко пользуются в метеорологии,… … Экологический словарь
ГРАДИЕНТ — векторная величина, характеризующая скорость изменения физ. поля по направлению (напр., температурный градиент, вертикальный градиент силы тяжести и т. п.). Г. можно получить расчетным путем (в простейшем случае как разность значений поля в двух… … Геологическая энциклопедия
градиент — Изменение значения некоторой величины на единицу расстояния в заданном направлении. Топографический градиент — это изменение высоты местности на измеренном по горизонтали расстоянии. [http://www.oceanographers.ru/index.php?option=com… … Справочник технического переводчика
градиент — 1. Изменение значения любой переменной величины, чаще всего используется в метеорологии, например, градиент температуры, барометрический градиент. 2. Крутизна склона, выраженная в градусах, процентах или как отношение … Словарь по географии
градиент — вектор Словарь русских синонимов. градиент сущ., кол во синонимов: 2 • вектор (5) • … Словарь синонимов
градиент — а, м. gradient m., лат. gradiens. Мера возрастания или убывания в пространстве какой л. физической величины при перемещении на единицу длины. БАС 2. Лекс. Брокг.: градиент; Уш. 1935: градие/нт; БСЭ 2: градие/нтный ветер; БСЭ 3: градиентоме/тр,… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ГРАДИЕНТ — ГРАДИЕНТ, в метеорологии и геофизике быстрота изменения некоторого элемента (температуры, давления, электрич. поля) в направлении, перпендикулярном к поверхностям уровня (т. е. поверхностям равных температур, равных давлений и пр.). Градиент… … Большая медицинская энциклопедия
градиент — закономерное количественное изменение, отражающее убывание или возрастание некоего свойства или показателя, например, градиент раздражителя (см. таксис). Словарь практического психолога. М.: АСТ, Харвест. С. Ю. Головин. 1998 … Большая психологическая энциклопедия
ГРАДИЕНТ — ГРАДИЕНТ, градиента, муж. (от лат. gradiens восходящий) (научн.). Изменение какой нибудь величины на какую нибудь единицу длины. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Несколько слов о градиентах
Всем привет! Сегодня хочу поговорить немного о градиентах, популярных сайтах, предоставляющих пользователям возможность выбирать и/или генерировать их, а так же, о нескольких градиентах, которые я люблю и применяю в различных проектах. Возможно, кому-то из вас они тоже понравятся.
Сегодня мало кто не знает, что такое градиенты и как их применять в разработке. Если верить статьям, то в 2018 году, применение ярких и насыщенных градиентов — это некий тренд.
Что такое градиент?
Давайте, для галочки, вспомним, что такое градиент.
Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины <\displaystyle \varphi >\varphi, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении
Градиенты применяются в различных сферах, но нас интересует сфера веб-разработки, где градиенты часто применяются в качестве основного фона сайтов и различных контейнеров, линий, цитат, блоков и даже текста.
Форма записи градиентов в css
Давайте коротко рассмотрим, из чего же состоит классический градиент.
Градиент может быть записан двумя способами:
background: linear-gradient(36deg, #0dd3ff, #0389ff, #1c79c0);
background-image: linear-gradient(36deg, #0dd3ff, #0389ff, #1c79c0);
Какую форму записи использовать — решать вам.
В коде, приведенном выше, мы указали три значения свойств background:
Все значения разделяются запятыми, а количество цветов может быть абсолютно любым, от двух до бесконечности. Но, разумеется, в пределах разумного.
Написание цвета градиентов
Цвет градиента может быть записан любым доступным обозначением:
Вы также можете указывать цвета в процентном соотношении, добавив после цвета %. Например, rgb(0, 0, 0) 0%, rgb(255,255,255) 100%.
Вот собственно и все базовые знания, необходимые для применения градиентов в веб-разработке. Но наверняка не все знают, что градиенты можно использовать и в других случая. Ниже о них.
Градиенты с изображениями
Для записи комбинированного градиента, с картинкой в качестве фона, можно использовать и другие свойства background. Давайте рассмотрим на двух примерах:
В первом примере мы создали градиентный фон (пример 1), а во втором добавили изображение и наложили на него наш градиент (пример 2).
Градиент для текста
Иногда хочется сделать текст ссылки или заголовка более ярким, заметным и/или заменить обычный текст на какую-нибудь картинку. CSS позволяет нам это сделать, используя следующие свойства:
Аналогичные действия можно совершать, заменив градиент на ссылку с изображением.
Главное помните, что некоторые свойства поддерживаются не всеми версиями браузеров. Проверить совместимость можно на сайте Can I use
Объединение градиентов CSS в режиме Background Blend Mode
Такие функции, как linear-gradient(), radial-gradient(), и repeating-linear-gradient(), repeating-radial-gradient() и другие разновидности имеют широкую поддержку и более стандартизированный синтаксис во всех современных браузерах. Однако, свойство background также может включать в себя более одного градиента, причем каждая функция разделяется запятой. Lea Verou продемонстрировала впечатляющие модели — паттерны, которые могут быть созданы с помощью этой техники: от шахматных досок, до кирпичей, до звезд. Но теперь, когда у нас есть свойство background-blend-mode, мы можем создать новые градиенты и шаблоны. Примеры ниже.
Спектральный фон
Наложим три градиента, чтобы создать фон с почти полным спектром цветов, который можно отобразить на мониторе.
.spectrum-background <
background:
linear-gradient(red, transparent),
linear-gradient(to top left, lime, transparent),
linear-gradient(to top right, blue, transparent);
background-blend-mode: screen;
>
И вот у нас уже получился разноцветный фон. Создание подобного эффекта ранее было возможно только с изображением, вес которого составлял бы десятки килобайт. Но мы только что воспроизвели этот эффект через CSS менее чем на 200 байт, не говоря уже о сохранении HTTP-запроса.
Создаем плед на css
Мы также можем создать интересные шаблоны с градиентами при помощи background-blend-mode.
.plaid-background <
background:
repeating-linear-gradient(
-45deg,
transparent 0,
transparent 25%,
dodgerblue 0,
dodgerblue 50%
),
repeating-linear-gradient(
45deg,
transparent 0,
transparent 25%,
tomato 0,
tomato 50%
),
repeating-linear-gradient(
transparent 0,
transparent 25%,
gold 0,
gold 50%
), white;
background-blend-mode: multiply;
background-size: 100px 100px;
>
В итоге вот что у нас получилось,
Фон сайта с кружочками
Эффект ночного видения
Давайте теперь попробуем воссоздать еще один эффект с режимами смешивания CSS и сделать фотографию, как будто мы просматриваем ее через объектив очков ночного видения.
Возьмем обычное изображение 
и наложим на него радиальный градиент и градиент, который мы использовали при создании пледа — repeating-linear-gradient
.night-vision-effect <
background:
url(https://wallpaperbrowse.com/media/images/soap-bubble-1958650_960_720.jpg),
radial-gradient(
rgba(0,255,0,.8),
black
),
repeating-linear-gradient(
transparent 0,
rgba(0,0,0,.2) 3px,
transparent 6px
);
background-blend-mode: overlay;
background-size: cover;
>
И вот результат.
Сайты-генераторы градиентов
Ниже я приведу подборку сайтов, позволяющих генерировать те самые градиенты, делать из них canvas, png и svg форматы и копировать код для установки в ваши проекты.
И напоследок, хочу поделиться с вами своей подборкой градиентов, которые мне очень нравятся и которые я применяю в различных проектах и при разработке сайтов.
Всем удачи и приятного творчества. Пишите в комментариях свои любимые градиенты.