какие свойства действий позволяют утверждать что данное равенство является тождеством
5. Тождества. Тождественные преобразования выражений
Найдём значения выражений 3(х + у) и Зх + Зу при х = 5, у = 4:
3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
3x + Зу = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:
2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
2ху = 2 • 1 • 2 = 4.
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то
2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
2ху = 2 • 3 • 4 = 24.
Определение. Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Выражения 3(х + у) и Зх + Зу являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.
верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение.Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством*.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
а + b = b + а, (а + b) + с = а + (b + с),
ab = ba, (аb)с = а(bс),
а(b + с) = аЬ + ас.
Можно привести и другие примеры тождеств:
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным, преобразова нием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.
Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме
Решение: Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки в выражении
Решение: Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:
Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Решение: Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:
Применив указанные свойства действий, получим
а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме а марок, во втором — на 15 марок больше, чем в нервом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?
Ответ запишите в виде неравенства.
Контрольные вопросы и задания
*В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.