В каких случаях можно утверждать что два выпуклых четырехугольника равны

Признаки равенства четырехугольников

При изучении признаков равенства треугольников в курсе геометрии 7 класса возникли вопросы: Существуют ли признаки равенства четырёхугольников? Если да, то по скольким элементам? Можно ли их сформулировать и доказать, опираясь на признаки равенства треугольников?

Цель: Сформулировать и доказать признаки равенства четырёхугольников.

Задачи: 1) Изучить литературу по данной теме.

2) Исследовать все различные комбинации наборов сторон и углов из четырёх элементов и, либо доказать признак, либо опро- вергнуть его, приведя контрпример.

3) Исследовать все случаи различных комбинаций из 5 элементов, сформулировать и доказать признак, либо опровергнуть.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Два четырехугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Существуют признаки равенства четырехугольников по четырем элементам.

2)ПО ТРЁМ УГЛАМ И СТОРОНЕ а)

3)ПО ДВУМ УГЛАМ И ДВУМ СТОРОНАМ а)

4) ПО УГЛУ И ТРЁМ СТОРОНАМ а) BC=BC1

5)ПО ЧЕТЫРЁМ СТОРОНАМ

ПРИЗНАКОВ РАВЕНСТВА ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ ПО ЧЕТЫРЁМ

ЭЛЕМЕНТАМ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Существуют признаки равенства четырёхугольников по пяти элементам.

Если четыре стороны и угол одного четырёхугольника соответственно равны четырём сторонам и углу другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

ABCD И A[]B[]C[]D[]- четырёхугольники. AB=A[]B[], BC= B[]C[], CD=C[]D[],

Если три стороны и два угла между ними одного четырёхугольника соответственно равны трём сторонам и двум углам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Т. к. соответственные стороны и углы четырёхугольников равны, то они совместятся наложением, а значит- по определению равных

Если три стороны и два угла, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трём сторонам и двум углам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Случай, где углы четырёхугольника тупые доказывается аналогично, достаточно перейти к смежным, соответственно равным углам.

Если два противолежащих угла и три стороны одного четырёхугольника соответственно равны двум противолежащим углам и трём сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Если три угла и две стороны между ними одного четырёхугольника соответственно равны трём углам и двум сторонам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Если три угла и две смежные стороны, одна из которых лежит между данными углами, одного четырёхугольника, соответственно равны трём углам и двум смежным сторонам, одна из которых лежит между двумя данными углами другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

По стороне и четырём углам

1) Эмпирические (изучение литературы, сбор сведений, сбор и обработка статистического материала)

2) Теоретические (сравнение и обобщение данных, составление таблиц)

3) Практические (построения с помощью циркуля и линейки, доказательства).

1) Изучение и исследование материала по теме.

2) Изучение проблемы.

3) Обработка материала и выработка практических рекомендаций.

1) Рассмотрев все различные наборы из четырёх элементов (сторон и углов) четырёхугольника, получили 12 случаев, к каждому из них с помощью циркуля и линейки привели контрпример, построив 2 неравных четырёхугольника по данным элементам.

2) Рассмотрев все различные наборы из 5 элементов четырёхугольника, получили 10 случаев, 7 из которых стали признаками равенства четырёхугольников, а к 3 случаям привели контрпример, построив неравные между собой четырёхугольники.

При изучении данной темы было установлено: существуют признаки равенства четырёхугольников по 5 элементам.

1. По 4 сторонам и углу: если четыре стороны и угол одного четырёхугольника соответственно равны четырем сторонам и углу другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

2. По 3 сторонам и 2 углам между ними: если три стороны и два угла между ними одного четырёхугольника соответственно равны трем сторонам и двум углам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

3. По 3 сторонам и 2 углам, не лежащим между ними: если три стороны и два угла, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трем сторонам и двум углам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

4. По 2 противолежащим углам и 3 сторонам: если два противолежащих угла и три стороны одного четырёхугольника соответственно равны двум противолежащим углам и трем сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

5. По 3 углам и 2 сторонам между ними: если три угла и две стороны между ними одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум сторонам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

6. По 3 углам и 2 смежным сторонам, не лежащим между ними: если три угла и две смежные стороны, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум смежным сторонам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

7. По 3 углам и 2 смежным сторонам, одна из которых лежит между данными углами: если три угла и две смежные стороны, одна из которых лежит между данными углами, одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум смежным сторонам, одна из которых лежит между данными углами другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Была проделана работа по доказательству признаков равенства четырёхугольников. Для доказательства были использованы признаки равенства треугольников, определение равных фигур, геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

В результате работы сформулировали и доказали 7 признаков по пяти элементам. Эти признаки могут быть полезны для тех, кто начинает изучать геометрию, учится сам формулировать и доказывать теоремы, а также в практической деятельности человека, например, при нахождении площадей.

Источник

Определение выпуклого четырехугольника

Статья поможет разобраться в свойствах и видах выпуклых четырехугольников. Научит отличать их от невыпуклых фигур. Вы узнаете, как определить, равны фигуры друг другу или нет, найдете ссылки на подробные доказательства всех пунктов равенства.

Что такое выпуклый четырехугольник

Это почти любой знакомый нам четырехугольник. Потому что в обычной общеобразовательной школе изучают только выпуклые фигуры.

Основные свойства

Для начала проверьте наличие четырех вершин, из которых три не лежат на одной прямой. Также должно быть четыре отрезка, которые эти вершины последовательно соединяют. Если все это есть, значит перед нами четырехугольник.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Виды выпуклых прямоугольников

Существуют две большие группы.

1 вид — параллелограммы:

Свойства диагоналей, признаки выпуклости

Можно сказать, что это, за небольшим исключением, одно и то же, поэтому объединим их в один блок.

1 свойство

Пересечение всех диагоналей.

Точка пересечения должна быть общая. Если хотя бы одна диагональ не пересекается с остальными в одной точке, то этот четыреугольник невыпуклый.

В основе этого свойства лежит соответствующая теорема, но здесь мы ее подробно не рассматриваем.

2 свойство

Любая из диагоналей разделит четырехугольник на 2 треугольника. Можно воспользоваться рисунками, данными в первом блоке статьи, и мысленно провести одну диагональ в каждой из фигур. Результат будет подтверждением написанного в этом пункте.

Еще один признак выпуклости

Если сложить градусные меры всех углов фигуры, получится величина, равная 360º.

Признаки равенства

Выпуклые четырехугольники равны, если у них соответственно равны:

Подробные доказательства по каждому пункту с иллюстрациями можно найти здесь: https://yadi.sk/i/V0X_9c1DY1Wehg

Сумма квадратов диагоналей

Если сумма квадратов диагоналей и сумма квадратов всех сторон фигуры равны, то это параллелограмм. Это свойство относится ко всем видам параллелограмма (ромб, квадрат, прямоугольник, собственно параллелограмм).

Источник

В каких случаях можно утверждать, что два четырёхугольника подобны?

Два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соственных угла и соственные углы между диагоналями.»

1)Все квадраты подобны.

2)Если угол одного ромба равен углу другого ромба, то такие ромбы подобны.

3)Если две соседние стороны одного прямоугольника пропорциональны двум сторонам другого прямоугольника, то такие прямоугольники подобны.

4)Если две соседние стороны одного параллелограмма пропорциональны двум соседним сторонам другого параллелограмма, и углы, образованные этими сторонами, равны, то эти параллелограммы подобны.

5)Если соственные стороны двух трапеций пропорциональны, то трапеции подобны.

6)Если угол одной трапеции равен углу другой трапеции, а стороны, образующие этот угол, и диагональ, выходящая из этого угла, соственно пропорциональны двум сторонам другой трапеции, образующим угол, равный первому, и диагонали, выходящей из этого угла, то такие трапеции подобны.

Признак подобия произвольных выпуклых многоугольников

1)Если стороны и диагонали одного выпуклого n – угольника соственно пропорциональны сторонам и диагоналям другого выпуклого n – угольника, то такие n – угольники подобны.

Признак подобия любых фигур:

1)Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур. Фигуры F и F1 называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F1 так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М1 и N1 фигуры F1 выполняется условие М1N1/MN = k, где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F1 оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подобия фигур F и F1.

Источник

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

В каких случаях можно утверждать, что два четырёхугольника подобны?

Правило подобия четырехугольников, основано на теореме подобия треугольников.Звучит следующим образом:

Два четырехугольника подобны, если четыре угла одного четырехугольника соответственно равны четырем углам другого четырехугольника, и отношения четырех сторон одного четырехугольника к сторонам другого четырехугольника с одинаковым коэффициентом пропорциональности К.

В том случае, если длину каждой стороны одного четыругольника можно поделить на длину соответствующей стороны другого четырехугольника и все ответы будут одинаковы, то есть если будет вычисление коэффициент.

Есть такая шутка: «Любовный треугольник может сложиться только в том случае, если один из углов тупой.» А на деле такое положение дел может быть лишь тогда, когда всех троих это устраивает. Но как правило, такого практически никогда не бывает.

Один мудрец сказал: если вы хотите сделать кого то счастливым, идите домой и любите свою семью.

Когда в семье заботятся друг о друге, уважают, понимают, поддерживают, помогают, то это и есть счастье. Причем в нем незаметно для себя привносит свой вклад каждый. Родители обеспечением всего необходимого, своей любовью, дети послушанием, благодарностью.

Тогда в доме всегда благожелательная атмосфера, всегда хочется идти домой. При разлуке скучают друг о друге.

В моей жизни был пример многодетной мамы, которая заболела. И дети со всех сторон приехали, чтобы побороться за здоровье матери. Кто то достал самые дефицитные лекарства, кто то был сиделкой возле нее в в самые тяжелые дни болезни. Они подняли ее в буквальном смысле и даже научили заново ходить. Двое ведут за руки, третий и четвертый по очереди передвигают ноги, а пятый со стулом идет позади. Мама устает, садят на стул. И так они вернули маму в прежнее состояние, продлили жизнь ей, потому что не было для них дороже человека и жизни.

Это ли не счастье, пример настоящей семьи.

Простенькая задачка. Решить можно по действиям.

Сначала найдём количество человек работающих в первом цехе:

480 * 30% / 100% = 144 человек.

Во втором цехе работают две трети от найденного числа работников первого цеха:

144 * 2/3 = 96 человек.

В третьем же цехе работает такое количество людей, которое равно разности от общего количества работающих в трёх цехах и суммы числа работников первого и второго цехов:

Получается, что в третьем цехе работает столько же человек, сколько работает в первом и во втором цехах вместе.

Ответ: в третьем цехе работает 240 человек.

У Тома Кенти, волею судьбы ставшего принцем, появляется множество соблазнов красивой жизни. А у его копии, настоящего принца, появляется возможность узнать, как же живут низы, на собственной шкуре в буквальном смысле слова.

Милосердия ждет народ от своего правителя, но это качество присутствует и у людей независимо от их происхождения,

чему пример Том Кенти.

Марк Твен не приукрашивает народ в своей книге, он показывает простых людей не благостными добряками, среди них есть злые, жестокие даже к собственным детям.

Точно так же и в высшем свете, вплоть до королевского дворца, встречаются несправедливые, недобрые персонажи.

Источник