В мешке было в 3 раза меньше монет чем в сундуке
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения с примерами
Решение задач с помощью уравнений
В школьном курсе математики многие задачи можно решить с помощью универсального способа, который предполагает составление уравнения, то есть математической модели, построенной согласно условиям задания.
Уравнение является равенством, содержащим неизвестное, значение которого требуется вычислить.
Решить уравнение — значит определить все его корни.
Корень уравнения — число, которое можно подставить в уравнение на место неизвестного, чтобы получить в результате верное числовое равенство.
Таким образом, множество разных примеров можно решить путем составления линейного уравнения. Для этого условие задания переводят на язык арифметики. Полученное в результате уравнение или формула являются следствием такой трансформации.
Под условием задачи может пониматься реальная ситуация, объяснение определенного процесса или какое-либо событие. Получение ответа возможно при решении уравнения, то есть определении корня. Далее ответ следует проверить, чтобы исключить его противоречивость по отношению к условию.
Примеры решений
Задача 3. В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:
Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:
Задача 4. По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.
Задача 5. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:
$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$
Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:
Запишем с учётом перевода дробей и упростим:
Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:
Домножим обе части на 2 и получим ответ:
Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнения
Решение задачи будет справедливым в том случае, когда уравнение составлено корректно. По сравнению со стандартными уравнениями, для которых выполняют поиск корней, уравнения, предназначенные для решения задач, обладают собственным конкретным применением. Любой из компонентов такого выражения можно описать с помощью словесной формы.
При составлении уравнения требуется понимание цели, с которой данный компонент включен в выражение. Кроме того, уравнение является равенством. В результате решения левая и правая часть выражения должны быть равны. Эта идея является ключевой при составлении уравнения. Можно предположить, что уравнение является весами, состоящими из пары чаш и экрана, демонстрирующего состояние весов.
На рисунке можно наблюдать равновесное состояние весов. Так как чаши пусты, они равны между собой. Такое положение можно записать, как:
Затем на одну из чаш поместили арбуз:
В результате левая чаша весов будет перевешивать правую. На экране отображается знак неравенства (\neq). Можно сделать вывод о том, что левая чаша весов не равна правой чаше. Далее следует приступить к решению задачи. Например, необходимо определить вес арбуза, который поместили на левую чашу. Решение заключается в составлении уравнения, роль которого играют непосредственно весы. Массу арбуза можно принять за переменную. В процессе требуется корректно составить выражение, то есть выровнять весы, таким образом, чтобы можно было рассчитать вес арбуза. Для этого на правую чашу следует поместить какой-то тяжелый предмет. К примеру, пусть это будет гиря массой 7 килограмм.
В результате ситуация изменилась. Правая чаша стала тяжелее, чем левая. На экране все еще отображается знак неравенства. Следует добавить гирю на левую чашу массой 4 килограмма.
После проделанных манипуляций весы пришли в состояние равновесия. Уровни, на которых расположены чаши, сравнялись. На экране показан знак равенства. Таким образом, левая чаша равна правой чаше. С помощью последовательных действий удалось получить уравнение в виде равенства с одним неизвестным. Левая чаша представляет собой левую часть уравнения, состоящую из элементов: число 4 и переменная х. Правая чаша включает только компонент в виде числа 7.
Корень уравнения: 3
Можно сформулировать ответ задачи: масса арбуза составляет 3 килограмма.
С помощью аналогичной методики можно решать и другие задачи. Для вычисления какого-нибудь неизвестного к левой и правой частям уравнения добавляют определенные компоненты такие, как:
Как правило, подобные элементы даны в условиях задачи. Требуется лишь корректно структурировать их и составить уравнение. В предыдущем примере был использован метод подбора необходимой гири для расчета веса арбуза.
В качестве другого примера можно рассмотреть задачу, по условию которой возраст отца равен общему количеству лет сына и дочери. При этом сын старше дочери в два раза и на двадцать лет моложе, чем отец. Требуется рассчитать возраст каждого члена семьи. Обозначив возраст дочери за х, можно записать возраст сына, который составит 2х. Сумма их возрастов будет записана, как х + 2х.
Далее можно привести подобные слагаемые в выражении х + 2х. Таким образом, возраст отца составит 3х. Затем необходимо решить уравнение. Для этого необходимо записать равенство, в котором можно определить неизвестное х. Наглядно продемонстрировать решение помогут весы. Предположим, что на левой чаше находится возраст отца (3х), а на правой чаше — возраст сына (2х).
На экране отображается знак неравенства. Левая чаша перевешивает правую по той причине, что отец старше сына. Для того чтобы уравнять весы, требуется рассчитать неизвестное х. Следует прибавить какое-либо число к правой чаше. Согласно условиям задачи, этим числом является 20 лет, так как сын моложе отца на 20 лет. В результате добавления к правой чаше весов 20 лет весы примут состояние равновесия.
Можно записать уравнение, которое достаточно просто решить:
В самом начале за переменную х был принят возраст дочери. Получается, что дочери 20 лет. Возраст сына будет равен (20 * 2), то есть 40 лет. Для того чтобы определить, сколько лет отцу, требуется сложить возраст сына и дочери, то есть (20 + 40).
Следует обратить внимание на один из этапов решения задачи, когда при постановке возраста сына и отца на весы левая чаша оказалась тяжелее правой.
Проблема неравенства чаш была решена путем добавления к правой чаше 20 лет. Таким образом, можно записать равенство: \(3х = 2х + 20\)
Другой способ заключается в вычитании этих 20 лет из левой чаши весов. В данном случае также было бы получено записанное равенство.
Исходя из такого анализа, можно заключить, что уравнения \(3х = 2х + 20\) и \(3х – 20 = 2х\) равносильны. Согласно определению, равносильные уравнения обладают одинаковыми корнями. При детальном рассмотрении можно заметить, что второе уравнение получено в результате переноса числа 20 из правой части в левую с заменой знака на противоположный, что не влияет на корни уравнения.
Ответ задачи не поменялся. Возраст сына составляет 40 лет. Дочери 20 лет, а отцу — 60 лет. Задачу можно решить разными методами. Поэтому для любого, даже самого сложного примера, достаточно легко подобрать оптимальный способ решения.
Этапы решения заданий с помощью линейного уравнения
Все перечисленные в примерах выше действия для решения задач с помощью линейных уравнений мы можем свести к одному общему алгоритму:
Как правило, легче всего составить уравнение с помощью записи данных задачи в таблицу.
| Было | Стало | |
| $1$-я полка | $2x$ | $2x-16$ |
| $2$-я полка | $x$ | $x+4$ |
Решение задач с помощью уравнений
Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.
Введение
В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.
Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.
Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.
Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.
Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:
Примеры решений
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:
Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая — 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:
$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$
Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:
Запишем с учётом перевода дробей и упростим:
Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:
Домножим обе части на 2 и получим ответ:
Задачи для самостоятельного решения
По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?
Ответ: Рабочие отработали 6 дней.
Задача В.И Арнольда.
Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?
1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.
Задача В.И Арнольда
Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?
Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$
$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$
Решение задач с помощью составления уравнений
Нередко уравнения выручают нас при решении самых разнообразных задач — по математике, физике, механике, экономики и других областей.
Рассмотрим общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1. Вводим переменные. Иными словами, буквами x, y, z мы обозначаем неизвестные нам величины, которые нам необходимо найти по условию задачи либо которые необходимы для отыскания искомых величин.
2. Составляем уравнение (систему уравнений) — при помощи введенных переменных и данных в условии задачи величин.
3. Решаем составленное уравнение (систему уравнений) и анализируем полученные данные (отбираем из решений те, которые подходят по смыслу задачи).
4. Если буквами x, y, z были обозначены не искомые величины, то при помощи полученных результатов находим ответ на вопрос задачи.
Применим полученные знания на практике и решим задачи.
Для перевозки 60 т груза понадобилось некоторое количество машин. Из-за ремонта на дороге на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, что привело к увеличению общего числа машин на 4 единицы. Какое количество машин было необходимо первоначально?
1. Обозначим через х первоначальное количество машин. Тогда всего было использовано (х + 4) машин.
2. Предполагалось, что каждая машина равномерно празделит 60 т груза, т.е. на одну машину будет погружено 60/х т, но фактически на 1 машину было погружено 60/(х + 4) т, что на 0,5 меньше, чем планировалось.
3. На основе введенных переменных и выведенных выражений составим и решим уравнение:
60/х — 60/(х + 4) = 0,5 ∙ 2х(х + 4)
120(х + 4) — 120х = х(х + 4)
120х + 480 — 120х = х2 + 4х
Моторная лодка, двигаясь со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между А и В по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между А и В составляет 60 км. Найти скорость течения реки.
1. Примем за х скорость течения реки.
2. Т.к. по условию задачи лодка двигалась в обоих направлениях (туда и обратно), то по течению она шла со скоростью (20 + х) км/ч, против течения — со скоростью (20 — х) км/ч.
3. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость, т.е. t = s/v. Иными словами, путь по течению займет у лодки 60/(20 + х) ч, а обратный путь — путь против течения займет 60/(20 — х) ч. По условию известно, что весь путь занял 6 ч 15 мин, т.е. 25/4 ч.
4. Используя вышеизложенные сведения, составим и решим уравнение:
60/(20 + х) + 60/(20 — х) = 25/4
60/(20 + х) + 60/(20 — х) = 25/4 ∙ 4(20 + х)(20 — х)
240(20 — х) + 240(20 + х) = 25(20 + х)(20 — х)
4800 — 240х + 4800 + 240х = 25(400 — х2)
25 х2 = 10000 — 9600
1. Примем за х массу добавленного олова. Тогда массу получившегося сплава мы обозначим как (12 + х) кг. Этот сплав содержит 40% меди, значит в новом сплаве меди будет 0,4(12 + х).
2. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, значит, в нем было меди 0,45 ∙ 12 кг.
3. Т.к. масса меди в исходном и в новом сплаве одинакова, приходим к уравнению:
Значит, к исходному сплаву необходимо добавить 1,5 кг олова.
Ответ: необходимо 1,5 кг олова.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения:
Задачи с решениями
Задача 1. Одна сторона треугольника в два раза больше другой и на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 43 см.
Периметр треугольника: P = AB+AC+BC = x+2x+(2x+3) = 43
$$5x+3 = 43 iff 5x = 40 iff x = 40:5 = 8$$
AB = x = 8 см, AC = 2x = 16 см, BC = 2x+3 = 19 см
Ответ: 8 см, 16 см и 19 см
Задача 2. Расстояние между двумя станциями поезд может пройти со скоростью 70 км/ч на полчаса быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Найдите это расстояние.
Пусть x — расстояние между станциями.
По условию разность затраченного времени:
Расстояние между станциями 210 км
Задача 3. Бригада должна была изготовить детали за 5 дней, но выполнила работу за 4 дня, т.к. изготавливала каждый день на 12 деталей больше. Сколько деталей изготовила бригада?
Пусть x — количество изготовленных деталей.
Количество деталей в день, шт./дни
Количество дней, дни
По условию разность между количествами деталей в день:
Бригада изготовила 240 деталей.
Задача 4. Сумма двух чисел равна 90. Если большее из них разделить на меньшее, то частное равно 3 и в остатке 6. Найдите эти числа.
Пусть x — меньшее число. Тогда большее равно 90-x. По условию: 90-x = 3x+6
Меньшее число x = 21, большее число 90-x = 69.
Задача 5. Матери 37 лет, а дочери 13 лет. Когда дочь была или будет втрое младше матери? А вдвое?
Пусть x — число прошедших лет. Возраст матери станет 37+x, дочери 13+x.
Дочь была втрое младше матери 1 год тому назад.
Дочь будет вдвое младше матери через 11 лет.
Ответ: год назад; через 11 лет
Задача 6. Сколько лет отцу и сыну, еcли в позапрошлом году сын был младше в 5 раз, а в следующем будет младше в 4 раза?
Пусть x — возраст сына в этом году.
И для отца, и для сына пройдёт три года:
Сейчас сыну 11 лет.
В следующем году отцу будет 4(x+1)=4∙12=48 лет. Значит, сейчас отцу 47 лет.
Ответ: 11 лет и 47 лет.
Задача 7. Сумма цифр данного двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится двузначное число на 9 больше данного. Найдите данное число.
Пусть x — первая цифра данного числа, число десятков.
По условию разность чисел:
Первая цифра x = 3, вторая цифра 7-x = 4.
Задача 8. По расписанию автобус должен ехать от посёлка до станции со скоростью 32 км/ч и приезжать на станцию за полчаса до отхода поезда. Но из-за ненастной погоды автобус ехал со скоростью на 7 км/ч меньше и опоздал к поезду на 12 мин. Чему равно расстояние от посёлка до станции?
Пусть x — расстояние от посёлка до станции.
Разность по времени между расписанием и фактическим прибытием:
Задача 9*. Если к двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то получится число в 54 раза больше исходного. Найдите исходное двузначное число.
Пусть x — исходное число.
Если приписать по 4 слева и справа, в полученном четырёхзначном числе первая 4 указывает на количество тысяч, число x — на количество десятков, последняя 4 — на количество единиц. Соотношение чисел:
Исходное число x = 91.
Задача 10. Для проведения экзамена закуплены тетради. Если их сложить в пачки по 45 штук, останется одна лишняя тетрадь, а если сложить в пачки по 50 штук, то в одной пачке не будет хватать 4 тетради. Сколько тетрадей было куплено, если пачек по 45 тетрадей получается на одну больше, чем пачек по 50 тетрадей?
Пусть n — количество пачек по 50 тетрадей.
Количество тетрадей в пачке
Ответ: 496 тетрадей.
Задача 11*. Компания приобрела две партии товара за 125 тыс.руб. Первая партия была продана с прибылью 25%, вторая — с прибылью 50%. Общая прибыль составила 40%. Сколько стоила компании каждая партия товара?
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения с примерами
Решение задач с помощью уравнений
В школьном курсе математики многие задачи можно решить с помощью универсального способа, который предполагает составление уравнения, то есть математической модели, построенной согласно условиям задания.
Уравнение является равенством, содержащим неизвестное, значение которого требуется вычислить.
Решить уравнение — значит определить все его корни.
Корень уравнения — число, которое можно подставить в уравнение на место неизвестного, чтобы получить в результате верное числовое равенство.
Таким образом, множество разных примеров можно решить путем составления линейного уравнения. Для этого условие задания переводят на язык арифметики. Полученное в результате уравнение или формула являются следствием такой трансформации.
Под условием задачи может пониматься реальная ситуация, объяснение определенного процесса или какое-либо событие. Получение ответа возможно при решении уравнения, то есть определении корня. Далее ответ следует проверить, чтобы исключить его противоречивость по отношению к условию.
Примеры решений
Задача 3. В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:
Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:
Задача 4. По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.
Задача 5. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:
$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$
Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:
Запишем с учётом перевода дробей и упростим:
Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:
Домножим обе части на 2 и получим ответ:
Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнения
Решение задачи будет справедливым в том случае, когда уравнение составлено корректно. По сравнению со стандартными уравнениями, для которых выполняют поиск корней, уравнения, предназначенные для решения задач, обладают собственным конкретным применением. Любой из компонентов такого выражения можно описать с помощью словесной формы.
При составлении уравнения требуется понимание цели, с которой данный компонент включен в выражение. Кроме того, уравнение является равенством. В результате решения левая и правая часть выражения должны быть равны. Эта идея является ключевой при составлении уравнения. Можно предположить, что уравнение является весами, состоящими из пары чаш и экрана, демонстрирующего состояние весов.
На рисунке можно наблюдать равновесное состояние весов. Так как чаши пусты, они равны между собой. Такое положение можно записать, как:
Затем на одну из чаш поместили арбуз:
В результате левая чаша весов будет перевешивать правую. На экране отображается знак неравенства (\neq). Можно сделать вывод о том, что левая чаша весов не равна правой чаше. Далее следует приступить к решению задачи. Например, необходимо определить вес арбуза, который поместили на левую чашу. Решение заключается в составлении уравнения, роль которого играют непосредственно весы. Массу арбуза можно принять за переменную. В процессе требуется корректно составить выражение, то есть выровнять весы, таким образом, чтобы можно было рассчитать вес арбуза. Для этого на правую чашу следует поместить какой-то тяжелый предмет. К примеру, пусть это будет гиря массой 7 килограмм.
В результате ситуация изменилась. Правая чаша стала тяжелее, чем левая. На экране все еще отображается знак неравенства. Следует добавить гирю на левую чашу массой 4 килограмма.
После проделанных манипуляций весы пришли в состояние равновесия. Уровни, на которых расположены чаши, сравнялись. На экране показан знак равенства. Таким образом, левая чаша равна правой чаше. С помощью последовательных действий удалось получить уравнение в виде равенства с одним неизвестным. Левая чаша представляет собой левую часть уравнения, состоящую из элементов: число 4 и переменная х. Правая чаша включает только компонент в виде числа 7.
Корень уравнения: 3
Можно сформулировать ответ задачи: масса арбуза составляет 3 килограмма.
С помощью аналогичной методики можно решать и другие задачи. Для вычисления какого-нибудь неизвестного к левой и правой частям уравнения добавляют определенные компоненты такие, как:
Как правило, подобные элементы даны в условиях задачи. Требуется лишь корректно структурировать их и составить уравнение. В предыдущем примере был использован метод подбора необходимой гири для расчета веса арбуза.
В качестве другого примера можно рассмотреть задачу, по условию которой возраст отца равен общему количеству лет сына и дочери. При этом сын старше дочери в два раза и на двадцать лет моложе, чем отец. Требуется рассчитать возраст каждого члена семьи. Обозначив возраст дочери за х, можно записать возраст сына, который составит 2х. Сумма их возрастов будет записана, как х + 2х.
Далее можно привести подобные слагаемые в выражении х + 2х. Таким образом, возраст отца составит 3х. Затем необходимо решить уравнение. Для этого необходимо записать равенство, в котором можно определить неизвестное х. Наглядно продемонстрировать решение помогут весы. Предположим, что на левой чаше находится возраст отца (3х), а на правой чаше — возраст сына (2х).
На экране отображается знак неравенства. Левая чаша перевешивает правую по той причине, что отец старше сына. Для того чтобы уравнять весы, требуется рассчитать неизвестное х. Следует прибавить какое-либо число к правой чаше. Согласно условиям задачи, этим числом является 20 лет, так как сын моложе отца на 20 лет. В результате добавления к правой чаше весов 20 лет весы примут состояние равновесия.
Можно записать уравнение, которое достаточно просто решить:
В самом начале за переменную х был принят возраст дочери. Получается, что дочери 20 лет. Возраст сына будет равен (20 * 2), то есть 40 лет. Для того чтобы определить, сколько лет отцу, требуется сложить возраст сына и дочери, то есть (20 + 40).
Следует обратить внимание на один из этапов решения задачи, когда при постановке возраста сына и отца на весы левая чаша оказалась тяжелее правой.
Проблема неравенства чаш была решена путем добавления к правой чаше 20 лет. Таким образом, можно записать равенство: \(3х = 2х + 20\)
Другой способ заключается в вычитании этих 20 лет из левой чаши весов. В данном случае также было бы получено записанное равенство.
Исходя из такого анализа, можно заключить, что уравнения \(3х = 2х + 20\) и \(3х – 20 = 2х\) равносильны. Согласно определению, равносильные уравнения обладают одинаковыми корнями. При детальном рассмотрении можно заметить, что второе уравнение получено в результате переноса числа 20 из правой части в левую с заменой знака на противоположный, что не влияет на корни уравнения.
Ответ задачи не поменялся. Возраст сына составляет 40 лет. Дочери 20 лет, а отцу — 60 лет. Задачу можно решить разными методами. Поэтому для любого, даже самого сложного примера, достаточно легко подобрать оптимальный способ решения.
Этапы решения заданий с помощью линейного уравнения
Все перечисленные в примерах выше действия для решения задач с помощью линейных уравнений мы можем свести к одному общему алгоритму:
Как правило, легче всего составить уравнение с помощью записи данных задачи в таблицу.
| Было | Стало | |
| $1$-я полка | $2x$ | $2x-16$ |
| $2$-я полка | $x$ | $x+4$ |