В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.

Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Углом между пересекающимися неперпендикулярными прямыми называется меньший из образованных ими углов, поэтому необходимо найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A₁C, поэтому угол A₁CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D₁CB угол D₁BC равен 60°.

Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что bd1 2ad

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС₁, на ребре BB₁ отмечена точка N, такая, что BN : NB₁ = 1 : 2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD₁?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD₁. Грани AA₁D₁D и BB₁C₁C параллельны, следовательно, прямые AK и NM параллельны. Проведем NN₁ параллельно BC и AD, тогда треугольник KAD равен треугольнику MNN₁, откуда

Таким образом, отрезки KD и KD₁ относятся как 1 к 5.

б) Заметим, что проекцией прямой NK на плоскость ABC является диагональ BD. Пусть L — точка пересечения прямой NK с плоскостью ABC. Тогда плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AL. Из точки K на AL опустим перпендикуляр KH. По теореме о трех перпендикулярах его проекция DH также перпендикулярна AL.

Таким образом, угол KHD — линейный угол искомого утла. Найдем его. Заметим, что треугольники LBN и LDH подобны, причем

Рассмотрим треугольники LDH и LAO, где O — центр основания призмы. Эти треугольники подобны, как прямоугольные треугольники с общим углом. Тогда

По теореме Пифагора для треугольника LHD имеем:

Найдем искомый угол из треугольника KHD:

Ответ: а) 1:5; б)