В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что са1 2 а1д1 найдите угол
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2.
а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD1. Грани AA1D1D и BB1C1C параллельны, следовательно, прямые AK и NM параллельны. Проведем NN1 параллельно BC и AD, тогда треугольник KAD равен треугольнику MNN1, откуда
Таким образом, отрезки KD и KD1 относятся как 1 к 5.
б) Заметим, что проекцией прямой NK на плоскость ABC является диагональ BD. Пусть L — точка пересечения прямой NK с плоскостью ABC. Тогда плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AL. Из точки K на AL опустим перпендикуляр KH. По теореме о трех перпендикулярах его проекция DH также перпендикулярна AL.
Таким образом, угол KHD — линейный угол искомого утла. Найдем его. Заметим, что треугольники LBN и LDH подобны, причем
Рассмотрим треугольники LDH и LAO, где O — центр основания призмы. Эти треугольники подобны, как прямоугольные треугольники с общим углом. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника LHD имеем:
Найдем искомый угол из треугольника KHD:
Ответ: а) 1:5; б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что са1 2 а1д1 найдите угол
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 2√3, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах A1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что А1К = KD1, a DM:MD1=2:1.
а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC1.
Решение:
а) Так как D1M:MD = 1:2, то D1M = 1; MD = 2.
Так как A1K = KD1, то A1K = KD1 = √3.
△BDC:BD² = BC² + CD²
△A1B1B: A1B² = A1B1² + B1B²
△KD1M: KM² = KD1² + D1M²
△BMD:BM² = BD² + MD²
△A1KB: BK² = A1K² + A1B²
Заметим, что для △KBM: BM² = KM² + BK².
б) Плоскости (BCC1) и (ADD1) параллельны, то есть (BCC1) || (ADD1). Тогда ∠(BMK; BCC1) = ∠(BMK; ADD1).
BK ⊥ KM. Пусть LK ⊥ KM. Тогда∠(BMK;ADD1) = ∠LKB = α
Заметим, что в △KD1M: KM = 2·D1M. Тогда ∠MKD1 = 30° и ∠KMD1 = 60°.
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что са1 2 а1д1 найдите угол
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна
а) Докажите, что объем пирамиды вдвое больше объема пирамиды .
б) Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра: Точка O принадлежит ребру и делит его в отношении считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.
В правильной треугольной призме ABCA’B’C’ стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A’C’. Найдите его площадь
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1.
а) Докажите, что плоскость делит объем призмы пополам.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды 144.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC.
а) Докажите, что .
б) Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна Найдите сторону основания.
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 5.
а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.
В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE = 1.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.
а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении .
б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.
В правильной треугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка D — середина ребра Найдите угол между плоскостями ABC и
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной высота призмы равна Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольник.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1.
а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этой трапеции.
В параллелепипеде точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.
а) Докажите, что плоскости и параллельны.
б) Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB = 4, BC = 6, CC1 = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1.
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна а боковое ребро Точка K принадлежит ребру и делит его в отношении считая от вершины Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки и
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что са1 2 а1д1 найдите угол
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B1C1 в точках K1 и L1 соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC1. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём
Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда
Поскольку
то есть прямые EF и A1C перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA1C. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой A1C, поэтому прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше
0
Максимальный балл
3
Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все
В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что са1 2 а1д1 найдите угол
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 на боковых ребрах АА1 и DD1 взяты соответственно точки К и М так, что
а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если АВ = 8, АА1 = 10.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости BMK с ребром СС1. В грани AA1DD1 построим прямую KR, параллельную AD и параллельную BC. Далее, DR : RM : MD1 = 2 : 2 : 1, тогда из параллельности KM и BL получаем, что треугольники KRM и BCL равны. Следовательно, CL : LC1 = 2 : 3 = AK : KA. Таким образом, по теореме Фалеса AC и KL параллельны A1C1 и, следовательно, плоскость BМK параллельна прямой AC.
б) Вычислим двумя способами объем пирамиды AKLB. С одной стороны, С другой стороны, где ha и hl — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, ha является искомым расстоянием.
Вычислим площадь треугольника BLK: Вычислим площадь треугольника ABK: найдем Получаем: откуда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
вдвое больше объема пирамиды 
.
известны рёбра: 
Точка O принадлежит ребру 
и делит его в отношении 
считая от вершины 
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 
и 
делит объем призмы пополам.
.
Найдите сторону основания.
а боковое ребро AA1 = 5.
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.
.
стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка D — середина ребра 
Найдите угол между плоскостями ABC и 
высота призмы равна 
Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α параллельная прямой BD1.
точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении 
Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.
и 
параллельны.
сторона основания равна 
а боковое ребро 
Точка K принадлежит ребру 
и делит его в отношении 
считая от вершины 
Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки 
и 
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
С другой стороны, 
где ha и hl — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, ha является искомым расстоянием.
Вычислим площадь треугольника ABK: 
найдем 
Получаем: 
откуда 
