В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.
Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Углом между пересекающимися неперпендикулярными прямыми называется меньший из образованных ими углов, поэтому необходимо найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A1BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A1C, поэтому угол A1CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D1CB угол D1BC равен 60°.
Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB = 6, а боковое ребро На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны, а CL = 1.
Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат.
б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда, так как получаем поэтому прямая WM, а значит и плоскость MWK пересекает ребро AA1 в его середине E. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F.
В прямоугольнике AEFC противоположные стороны: Сечение MENKFL состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2.
а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD1. Грани AA1D1D и BB1C1C параллельны, следовательно, прямые AK и NM параллельны. Проведем NN1 параллельно BC и AD, тогда треугольник KAD равен треугольнику MNN1, откуда
Таким образом, отрезки KD и KD1 относятся как 1 к 5.
б) Заметим, что проекцией прямой NK на плоскость ABC является диагональ BD. Пусть L — точка пересечения прямой NK с плоскостью ABC. Тогда плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AL. Из точки K на AL опустим перпендикуляр KH. По теореме о трех перпендикулярах его проекция DH также перпендикулярна AL.
Таким образом, угол KHD — линейный угол искомого утла. Найдем его. Заметим, что треугольники LBN и LDH подобны, причем
Рассмотрим треугольники LDH и LAO, где O — центр основания призмы. Эти треугольники подобны, как прямоугольные треугольники с общим углом. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника LHD имеем:
Найдем искомый угол из треугольника KHD:
Ответ: а) 1:5; б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B1C1 в точках K1 и L1 соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC1. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём
Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда
Поскольку
то есть прямые EF и A1C перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA1C. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой A1C, поэтому прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше
0
Максимальный балл
3
Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B1C1 в точках K1 и L1 соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC1. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём
Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда
Поскольку
то есть прямые EF и A1C перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA1C. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой A1C, поэтому прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда
Ответ:
Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все
известно, что 
Найдите угол между диагоналями 
и 
Ответ дайте в градусах.
На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
получаем 
поэтому прямая WM, а значит и плоскость MWK пересекает ребро AA1 в его середине E. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F.
Сечение MENKFL состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
