В трапеции abcd с основаниями ad и bc известно что
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.
а) Из равнобедренности треугольников следовательно, AC — биссектриса угла BAD.
б) Поскольку BA = BD = BC = 8,5, точки A, D и C лежат на окружности радиуса 8,5 с центром в точке B. Продолжим основание BC за точку B до пересечения с этой окружностью в точке E. Тогда EC — диаметр окружности, а ADCE — равнобедренная трапеция. Поэтому AE = CD, а так как точка A лежит на окружности с диаметром CE, получаем, что Из прямоугольного треугольника CAE находим, что Следовательно, CD = AE = 8.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В трапеции abcd с основаниями ad и bc известно что
В основании прямой призмы АВСDA1В1С1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что AD : BC = 2 : 1 и АВ = ВС.
а) В трапеции ABCD проведем высоту BH. Тогда Следовательно, угол ABH равен 30°, углы ADC и BAH равны 60°, а угол BCD равен 120°. Отрезки BC, AB и CD равны, следовательно, треугольник BCD — равнобедренный. Углы CBD и CDB равны
Таким образом, угол BDA равен 30°, тогда угол DBA равен 90°, а значит, отрезки AB и BD перпендикулярны как катеты прямоугольного треугольника ABD. По теореме о трех перпендикулярах отрезки B1D и AB перпендикулярны и, следовательно, B1D перпендикулярно A1B1.
Прямые DC2 и CD1 равны, тогда найдем прямую CD1 по теореме Пифагора из треугольника CD1D:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:
Найдем B1D по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике B1DB:
Применим теорему косинусов для треугольника B1DC2:
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В трапеции abcd с основаниями ad и bc известно что
В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что АВ = CD.
б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.
а) Углы ABD и ACD прямые, поэтому вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности диаметром AD. Значит, АВ = CD, поскольку
б) Пусть ВН — высота трапеции ABCD. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Следовательно, AD = 2AH + BC. Тогда
откуда получаем уравнение Его положительным корнем является AH = 0,5, и тогда AD = 8.
Приведем другую идею решения пункта б).
Так как BH — высота прямоугольного треугольника ABD, квадрат катета AB равен произведению проекции этого катета на гипотенузу, то есть проекции AH на AD. Но откуда получаем или
Приведем решение пункта б) Анастасии Белоусовой.
По теореме Птолемея произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон:
Трапеция равнобедренная, следовательно, ее диагонали равны, тогда
Из прямоугольного треугольника ACD получим
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В трапеции abcd с основаниями ad и bc известно что
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.
а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.
б) Найдите KN, если ∠LKN = 75° и LM = 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что
б) Найдите отношение CK и KE, если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.
а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.
б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O.
Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь трапеции, если а основания равны 5 и 7.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника AOM, если и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 3 и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.
а) Пусть AA1 также диаметр окружности. Докажите, что
б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB вдвое меньше угла ADB.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD и пересекает BC и CD в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что отрезки AE и AK равны.
б) Найдите AD, если CE = 48, DK = 20,
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.
а) Докажите, что AE = AK.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Окружность проходит через вершины и C параллелограмма и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке
а) Докажите, что отрезки BE и BK равны.
б) Найдите отношение KE к AC, если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Около треугольника KLN описана окружность, прямые LM и MN — касательные к этой окружности.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка QN, если BC = 4,5, AD = 21,5, AB = 26, CD = 25, а угол CPD — прямой.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Около описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если а радиус описанной окружности равен 18.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что
б) Найдите KN, если а радиус окружности равен 12.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC, Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около
а) Докажите, что
б) Найдите площадь если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что
б) Найдите угол если и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что AH = AO.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.
а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.
б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В окружность радиусом с центром в точке O вписана трапеция ABCD. Основание трапеции AD является диаметром окружности, угол BAD равен 60°. Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD = 1 : 3.
а) Докажите, что точка Р — cередина отрезка АО.
б) Найдите площадь треугольника BPE.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.
а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Точка F лежит на его стороне AD, причём прямые BF и CD параллельны, и прямые CF и AB параллельны.
а) Докажите, что отрезки BF и CF разбивают четырёхугольник ABCD на три подобных треугольника.
б) Известно, что AF = 1, DF = 4. Найдите BC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую BC в точке P. В каком отношении делит сторону AB (считая от точки B) прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND = 1 : 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольнике ABCD, в котором а AB = 6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке K, радиус которой равен 2, касается сторон AB и AD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности.
а) Докажите, что точки A, K, L лежат на одной прямой.
б) Найдите площадь треугольника CLM, если M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую, проходящую через точки K и L.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая — сторон AD, CD и BC.
а) Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.
б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD
а) Докажите, что углы AEB и BDA равны.
б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке E. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите AE, если известно, что BC = 7, CE = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
откуда
Значит, ABCK — прямоугольник.
следовательно, AC — биссектриса угла BAD.
Из прямоугольного треугольника CAE находим, что 
Следовательно, CD = AE = 8.
Следовательно, угол ABH равен 30°, углы ADC и BAH равны 60°, а угол BCD равен 120°. Отрезки BC, AB и CD равны, следовательно, треугольник BCD — равнобедренный. Углы CBD и CDB равны 
Его положительным корнем является AH = 0,5, и тогда AD = 8.
откуда получаем 
или 
а основания равны 5 и 7.
и 
и C параллелограмма и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке 
описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.
а радиус описанной окружности равен 18.
а радиус окружности равен 12.
Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около 
если 
если 
и 
с центром в точке O вписана трапеция ABCD. Основание трапеции AD является диаметром окружности, угол BAD равен 60°. Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD = 1 : 3.
а AB = 6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке K, радиус которой равен 2, касается сторон AB и AD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности.
а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.