В трапецию abcd можно вписать окружность известно что ab cd 5

В трапецию abcd можно вписать окружность известно что ab cd 5

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен

а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому

то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.

б) Заметим, что поэтому

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:

Значит,

Приведем другое решение пункта а)

Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, ее центр находится в точке O, а BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y. Поскольку точки M, K, N и L — точки касания, и Опустим высоты BH и CQ:

тогда по теореме Пифагора Поскольку имеем откуда

Источник

В трапецию abcd можно вписать окружность известно что ab cd 5

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.

б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.

б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть а катет

В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, то есть а значит,

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки и Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим откуда

Тогда поэтому то есть

Ответ:

Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где точка пересечения отрезков AD и CK.

б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть а катет

В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, то есть а значит,

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки и Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим откуда

Тогда поэтому то есть

Ответ:

Аналоги к заданию № 563577: 563551 Все

Трапеция ABCD с основаниями AD = 6 и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка К, отличная от точки D так, что BK = 7. Найдите длину отрезка АК.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Отметим на дуге AD точку так, чтобы Тогда треугольники и DCB равны по двум сторонам и углу между ними. Равенство углов следует из равенства дуг стягиваемых равными хордами. Тогда равны дуги и а значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы.

Значит, При этом точка не совпадает с точкой D, поскольку Значит, точка совпадает с точкой K (поскольку из точки B в окружности можно провести не более двух хорд данной длины). Тогда

Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований BC = 36 и AD = 64 в точках K и M соответственно.

Точки K и M — середины оснований, поэтому CK = 18 и DM = 32. Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром O₁ вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке P. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

а так как точки D, O₁ и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

Треугольники O₁PD и OMD подобны, поэтому или откуда находим, что r = 6.

Если же окружность радиуса r₁ с центром O₂ вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение из которого найдём, что

Ответ: 6 или

Окружность S радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 32. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований и в точках K и M соответственно.

Точки K и M — середины оснований, поэтому и Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

а так как точки и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

Треугольники O₁PD и OMD подобны, поэтому или откуда находим, что

Если же окружность радиуса с центром вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение из которого найдём, что

Ответ: 3 или

Аналоги к заданию № 507492: 511433 Все

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD — в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, и угол BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность.

а) Докажите, что треугольник AKD тупоугольный.

б) Найти отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.

а) Как известно, точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой, поэтому M и N — середины BC и AD соответственно. Из условий описанности находим откуда Значит, и

б) Опустим высоту CT на Пусть тогда

Итак, поэтому треугольники KAD и KBC подобны с коэффициентом

Значит,

Ответ: б)

Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD

а) Докажите, что углы AEB и BDA равны.

б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а

а) Докажем, что точка E лежит на окружности, описанной вокруг трапеции ABCD. В самом деле, углы BEC и BDA равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, а углы BDA и BDC равны как опирающиеся на равные дуги. Следовательно, ∠BEC = ∠BDC, а потому и точки B, E, D, C лежат на одной окружности. Тогда углы BEA и BDA равны как опирающиеся на одну дугу.

Пусть K — точка пересечения AD и BE, тогда из прямоугольного треугольника ABK получаем и

.

Так как трапеция ABCD — равнобедренная, а BK — её высота, средняя линия трапеции равна Окончательно получаем:

Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD

а) Доказать, что ∠AEB = ∠BDA

б) Найти площадь ABCD, если AB = 72,

а) Докажем, что точка E лежит на окружности, описанной около равнобокой трапеции ABCD. В самом деле, ∠BEC = ∠BDA, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. А ∠BDA = ∠BDC, как опирающиеся на равные дуги. Окончательно получаем, ∠BEC = ∠BDC и точки B, E, D, C лежат на одной окружности. Тогда ∠BEA = ∠BDA, как опирающиеся на одну дугу.

Пусть K — точка пересечения AD и BE, тогда из прямоугольного треугольника ABK получаем и

.

Так как трапеция ABCD — равнобокая и BK — её высота, средняя линия трапеции равна Окончательно получаем:

Ответ:

Аналоги к заданию № 563669: 563670 Все

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 11 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 27 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите длину её средней линии.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 84. Найдите длину её средней линии.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 42. Найдите радиус окружности.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — трапеция.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.

а) Пусть прямая КМ — общая касательная двух окружностей, причём точка M лежит на отрезке AB. Тогда по свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, Следовательно, точка К лежит на окружности диаметром AB, а значит,

Углы AKD и BKC прямые, поэтому AD и BC — диаметры первой и второй окружностей соответственно. Значит, неравные отрезки AD и BC перпендикулярны касательной АB, следовательно, они параллельны. Таким образом, четырёхугольник ABCD — трапеция.

б) Пусть точки О и Q — центры первой и второй окружностей соответственно, а точки E и H — проекции точек О и D соответственно на прямую BC. Тогда в прямоугольном треугольнике OEQ:

В прямоугольном треугольнике DCH:

В прямоугольном треугольнике BDH:

По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника BDC, равен

Ответ: б)

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.

а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.

б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

a) Пусть O — центр окружности. Прямая OC перпендикулярна касательной BC, а так как хорда AD параллельна BC, прямая OC перпендикулярна прямой AD. Диаметр CC₁ перпендикулярен хорде AD, а значит, делит её пополам. Высота треугольника ACD является его медианой, значит, треугольник равнобедренный, AC = CD, а так как AD = CD, треугольник равносторонний. Тогда

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

Следовательно, CP — биссектриса угла ACB.

б) Пусть Тогда значит,

По свойству биссектрисы треугольника значит, Поэтому

Через вершины А и С прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) проведена окружность с центром в точке О, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.

а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.

б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE = 5, AC = 6.

а) Из условия задачи следует, что AO ⊥ AB. Следовательно, AO || BE как два перпендикуляра к одной и той же прямой.

Сделаем дополнительное построение: продолжим AO до пересечения с другой точкой окружности, которую обозначим D. Соединим точки E и D отрезком. Мы получили вписанную трапецию ACED, одним основанием которой будет служить диаметр заданной окружности.

Так как в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию, то DE = AC = 6. Но эти же равные хорды стягивают и равные дуги АС и DE. Следовательно, равным дугам соответствующие центральные углы AOC и DOE обязаны быть равными.

Отсюда: ∠AOE + ∠AOC = ∠AOE + ∠ DOE = 180°, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠AED = 90° как вписанный, опирающийся на диаметр AD. Два прямоугольных треугольника ABE и AED имеют равные острые углы: ∠BEA и ∠EAD (внутренние накрест лежащие при параллельных BE, AD и секущей AE). Следовательно, они (треугольники) подобны, откуда:

В прямоугольном треугольнике AED по теореме Пифагора: AD 2 = AE 2 + DE 2 = 5AD + 36. То есть

;

Длины соседних сторон вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них также равна 1. Найти радиус окружности.

Пусть AB = 1. Тогда AD = BC = 2, CD = 1 или CD = 3.

В первом случае ABCD — параллелограмм, а поскольку вписанный — то прямоугольник, причем его диагональ — диаметр окружности. Тогда ее радиус

Во втором случае (равные хорды стягивают равные дуги, углы опирающиеся на равные дуги, равны), откуда ABCD — равнобедренная трапеция. Ее высота равна Искомая окружность тогда — описанная окружность треугольника DAC. Найдем ее радиус по формуле

Ответ:

В равнобокую трапецию вписана окружность.

а) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения )

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

а) Пусть в трапеции ABCD Опустим высоты BE и CF на основание AD. Тогда Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, то

Из прямоугольного треугольника ABE имеем Очевидно, что диаметр окружности равен расстоянию между основаниями трапеции, то есть как раз найденной высоте.

б) По пункту а) диаметр окружности равен а радиус, следовательно, равен 6. Боковая сторона трапеции равна 13. Поскольку верхнее основание поделено точкой касания на отрезки длиной 4, а нижнее — на отрезки длиной 9, боковая сторона поделена на отрезки длиной 4 и 9.

Соединим теперь точки касания на боковых сторонах. отрезок, соединяющий их, параллелен основаниям и делит боковую cторону в отношении Тогда его длина равна

Итак, диагонали нужного нам четырехугольника перпендикулярны и имеют длины 12 и поэтому его площадь равна

Источник