В треугольнике abc известно что ab ac и угол bac тупой
Дан остроугольный треугольник АВС со стороной АВ = 21. К прямым ВС и АС проведены высоты АН1 и ВН2. Известно, что 17АН = 30R, 5ВН = 6R, где Н — точка пересечения прямых АН1 и ВН2, R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника АВС.
а) Заметим, что поэтому синусы углов AHB и ACB равны, а кроме того, угол AHB тупой, а углы ABH и BAH — острые. Тогда, по теореме синусов,
Следовательно, радиусы окружностей, описанных около треугольников AHB и ABC равны. Тогда
Тогда получаем, что
Что и требовалось доказать.
Поэтому, по теореме синусов,
Далее вычислим площадь треугольника ABC
Примечание Решу ЕГЭ.
Читатель, решивший дополнительно найти сторону ВС, воспользуется теоремой синусов и получит
Следовательно, стороны треугольника ABC равны 10, 17 и 21. Но треугольник с такими сторонами тупоугольный, а не остроугольный, как дано в условии. Описанной в условии геометрической фигуры не существует. Решение, приведенное выше, неверно, потому что и решить ничего нельзя. Задание некорректно.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3
Получен обоснованный ответ в пункте б
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
поэтому синусы углов AHB и ACB равны, а кроме того, угол AHB тупой, а углы ABH и BAH — острые. Тогда, по теореме синусов,
и получит