В треугольнике abc известно что ab bc медиана bm равна 6

В треугольнике abc известно что ab bc медиана bm равна 6

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены высоты AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

а) Рассмотрим треугольники APC и CKA: углы PAC и KCA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, углы APC и CKA равны (прямые углы), сторона AC — общая. Значит, треугольники APC и CKA равны по гипотенузе и острому углу. Точка M является серединой AC. Отрезки MP и MK равны, как соответствующие элементы (медианы проведенные к гипотенузам) равных треугольников. Значит, треугольник KMP — равнобедренный.

б) Из равенства треугольников APC и CKA следует равенство отрезков AP и CK, а значит и равенство отрезков PB и KB. Тогда треугольники PBK и ABC подобны. Коэффициент подобия равен Из подобия треугольников получаем Выразим площадь треугольника KMP:

Таким образом, площадь треугольника ABC:

Источник

В треугольнике abc известно что ab bc медиана bm равна 6

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.

Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.

В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.

б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.

В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.

Приведем другое решение.

а) Обозначим за K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.

Далее, в видим, что KM является высотой и медианой, откуда следует, что треугольник BMN равнобедренный. Обозначим BM = MN = x, тогда MC = BC − BM = 5 − x.

Из по теореме косинусов получаем:

Из треугольника по теореме косинусов: откуда:

Таким образом, получили, что MN = 2, MC = 3 — значит, треугольник MCN равнобедренный, откуда следует, что биссектриса CO является и высотой, и медианой. Значит, точка O — середина стороны MN. Что и требовалось доказать.

б) Опустим вспомогательный перпендикуляр из точки P на сторону AN (пересечение в точке H). Отрезок PH является радиусом вписанной окружности, так как P — точка пересечения биссектрис (а значит — центр вписанной окружности). Найдем радиус из формулы где S — площадь треугольника ABC, p — полупериметр треугольника, равный

Найдем площадь по формуле Герона:

Тогда

Из треугольника ABC вновь по теореме косинусов найдем косинус угла A (обозначим его за ):

Так как то

откуда

Тогда из получаем:

Найдем, что HN = AN − AH = 1, тогда из по теореме Пифагора:

Окончательно получаем, что

Дублирует задание 505501.