В треугольнике абс известно что абс 74 биссектрисы
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB 1 и CC 1. Известно, что центр описанной окружности треугольника BB 1C 1 лежит на прямой AC. Найдите угол C треугольника.
Решение
Продолжив луч BC до пересечения с описанной окружностью треугольника BB 1C 1, получим точку K (см. рис.). Вписанные углы ∠C 1BB 1 и ∠KBB 1 равны (так как BB 1 — биссектриса), значит, равны дуги, на которые они опираются, B 1C 1 = B 1K. При этом точки K и C 1 лежат на окружности (описанной вокруг треугольника BB 1C 1), центр которой принадлежит прямой AC. Следовательно, K и C 1 симметричны друг другу относительно прямой AC. Получаем равенство трёх углов ∠BCC 1 = ∠C 1CB 1 = ∠B 1CK. Сумма этих углов равна 180°, стало быть, каждый из них равен 60°, и ∠ACB = ∠BCC 1 + ∠C 1CB 1 = 120°.
Комментарии. 1. Легко показать, что центр O окружности может лежать только на продолжении отрезка AC за точку C и, значит, прямая BC пересекает окружность именно так, как показано на рисунке.
2. Возможны также решения, основанные на том, что точки B, C, O, C 1 лежат на одной окружности, или на том, что описанная окружность треугольника BC 1B 1 является окружностью Аполлония для точек A и C.
В треугольнике абс известно что абс 74 биссектрисы
В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.
а) Докажите, что угол BCA равен 60°.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 12 и IC = 2.
а) Обозначим через α и β углы CAB и ABC соответственно. Тогда углы IAB и ABI равны и соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол BIA равен Такая же величина у вертикального к нему угла LIK. По условию около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. Следовательно, угол BCA дополняет угол LIK до 180°. С другой стороны, по теореме о сумме углов треугольника угол BCA дополняет до 180° сумму углов α и β. Следовательно, и Значит, угол BCA равен 60°.
б) Поскольку точка I является точкой пересечения биссектрис AK и BL, она также лежит на биссектрисе угла BCA и является центром вписанной в треугольник ABC окружности. Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра IH, опущенного из этой точки на BC. По доказанному угол HCI равен половине угла BCA, то есть он равен 30°. В прямоугольном треугольнике HCI против угла в 30° лежит катет IH. Следовательно, Площадь треугольника ABC равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В треугольнике абс известно что абс 74 биссектрисы
В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.
а) Докажите, что угол BCA равен 60°.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 25 и IC = 4.
а)Обозначим через α и β углы CAB и ABC соответственно. Тогда углы IAB и ABI равны и соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол BIA равен Такая же величина у вертикального к нему угла LIK. По условию около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. Следовательно, угол BCA дополняет угол LIK до 180°. С другой стороны, по теореме о сумме углов треугольника угол BCA дополняет до 180° сумму углов α и β. Следовательно, и Значит, угол BCA равен 60°.
б) Поскольку точка I является точкой пересечения биссектрис AK и BL, она также лежит на биссектрисе угла BCA и является центром вписанной в треугольник ABC окружности. Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра IH, опущенного из этой точки на BC. По доказанному угол HCI равен половине угла BCA, то есть он равен 30°. В прямоугольном треугольнике HCI против угла в 30° лежит катет IH. Следовательно, Площадь треугольника ABC равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В треугольнике абс известно что абс 74 биссектрисы
В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный.
б) Найти длину стороны AC, если AB = 4.
а) Пусть треугольник ABC не является тупоугольным. Тогда его высота AD лежит внутри треугольника или совпадает с его стороной. Тогда BD ⩽ AB. Пусть прямая BE пересекает AD в точке F, прямая BK пересекает AD в точке G. По свойству биссектрисы Тогда Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: откуда что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.
б) По свойству биссектрисы откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая:
Осталось применить для треугольника ABC теорему косинусов:
В треугольнике абс известно что абс 74 биссектрисы
Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что BO = CO. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
Решение
Поскольку треугольник BOC равнобедренный, то его медиана OD является высотой, поэтому AD – высота (и медиана) треугольника ABC. Значит, AB = AC, а O – точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда и биссектриса CF является его высотой. Поэтому и AC = BC.
Замечания
1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 6 кл., зад. 2).
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол BIA равен 
Такая же величина у вертикального к нему угла LIK. По условию около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. Следовательно, угол BCA дополняет угол LIK до 180°. С другой стороны, по теореме о сумме углов треугольника угол BCA дополняет до 180° сумму углов α и β. Следовательно, 
и 
Значит, угол BCA равен 60°.
Площадь треугольника ABC равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Площадь треугольника ABC равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тогда 
Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: 
откуда 
что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.
откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая:
