для чего используется факториал

Что такое факториал и зачем он нужен?

n! — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

нужен для удобства записи таких произведений.

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так [1]:
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …
Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).
Свойства
Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.
Связь с гамма-функцией [править | править вики-текст]

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.
Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как
.
Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению
Формула Стирлинга
Основная статья: Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое [2].
Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что
•100! ≈ 9,33×10157;
•1000! ≈ 4,02×102567;
•10 000! ≈ 2,85×1035 659.
Разложение на простые числа
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Связь с производной от степенной функции
Для целого неотрицательного числа n:

Другие свойства
•Для натурального числа n:

Обобщения
Двойной факториал
Запрос «‼» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Двойной факториал числа n о

Источник

Зачем может понадобиться факториал в жизни?

Зачем вообще может понадобиться передавать структуру?
Методу в качестве параметра. using System; class newClass < public int n; >struct.

зачем может понадобиться делать операторы виртуальными?
Дорогие программисты, во первых, хочу поздравить вас с Наступающим новым Годом! Я к вам обращаюсь с.

Что делает данный код и зачем такое кому-нибудь может понадобиться?
Я ответил на вопрос,но точной формулировки не нашёл,хотел бы свериться(приложения с ответами.

Зачем может понадобиться чистое использование rvalue ссылок, типа T&& r = 5; (практическое применение)?
зачем может понадобиться чистое использование rvalue ссылок, типа T&& r = 5; (практическое.

Когда может понадобиться и абстрактный класс и интерфейс?
Доброго времени суток! Собственно вопрос в заголовке. Я думал, что если есть абстракный класс, то.

Для чего может понадобиться extern class
Что дает такая конструкция? extern class Class <>;

На каком этапе изучения языка может понадобиться математика?
на каком этапе изучения языка может понадобится математика ( на неплохом уровне, например)

Может кому понадобиться Выключение/перезагрузки компа и завершение сеанса
Копался в windows.h искал чего нибудь интересного вот и нашел. Вообщем функция для выключения.

В каком случае может понадобиться эксклюзивный доступ. Shared mutex
Допустим у меня есть некоторый вектор с классами. Есть пул тредов которые могут как читать, так и.

Источник

Факториал

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Рекуррентная формула

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Источник

Что такое факториал?

Я думаю трудно найти человека, который не знал бы, что такое факториал. Но, чёрт возьми, такая красивая математическая операция, давайте поговорим о ней снова. Тем более постарался максимально доходчиво объяснить материал даже очень далеким от математики людям. Поехали!

Кто из Вас помнит, когда столкнулся с факториалом впервые? Я, например, абсолютно уверен, что первый раз увидел значок n! на советской микро-ЭВМ Электроника МК-71. Меня поразило, в первую очередь, как с помощью этой кнопки быстро переполняется буфер и выскакивает ошибка. Потом уже, начав изучать математику, удалось поближе познакомиться с этим зверем. Начнем с определения:

Лаконично и просто.

Факториал крут тем, насколько быстро возрастает его значение, и если 5! равен всего лишь 120, то 10! — уже 3 628 800‬, а, например, факториал 1000000 равен 8,263931688Е+5565708. Факториал возрастает быстрее чем экспонента и степенная функция и даже чем их произведение, но, однако уступает функции n в степени n.

Короткий пример вычисления факториала

Важное уточнение: 0! = 1, что следует из определения факториала.

Если взять первым красный шар, а затем найти варианты расположения остальных — получим 6 вариантов. Перебрав все 4 шара получим 24 = 1*2*3*4=4! Таким образом, количество перестановок во множестве равно факториалу количества его членов.

Во-вторых, факториал применяется при расчете количества размещений — еще одной операции из мира комбинаторики. Суть ее проста, поясним ее на всё том же примере разноцветных шаров. Ответьте на вопрос: сколько способов отдельного размещения 2 шаров из представленных 4 (разный порядок — разный способ) ?

Всего имеется 12 вариантов размещения 2 элементов из 4. То, что мы сейчас посчитали руками формализуется следующим образом через факториал:

Читается как количество размещений из n элементов по m

В-третьих, факториал присутствует в формуле количества сочетаний из n элементов по m. Сочетания отличаются от размещений тем, что если набор элементов одинаков — он не учитывается.

На рисунке обведены сочетания: как видно, их стало в 2 раза меньше. Формула вычисления количества сочетаний из n элементов по k выглядит так:

Раз уж мы разобрались с перестановками, размещениями и сочетаниями, перейдем к «имени нарицательному», страшному и пугающему: биному Ньютона. Как окажется, знание факториала и последней формулы легко позволит Вам расколоть этот «крепкий орешек».

Как ни странно, бином Ньютона это выражение (1+x)^n и его легко найти через формулу сочетаний (доказательство естественно опустим). Вот небольшой пример нахождения бинома третьей степени, который легко перепроверить перемножением.

Разобравшись с этим примером, можете спокойно спорить с друзьями и знакомыми, что без проблем вычислите бином Ньютона n-ной степени!

Некоторые интересные свойства факториала

Во многих случаев, когда не требуется точного вычисления факториала не требуется, можно воспользоваться формулой Стирлинга:

Например, реальное значение факториала 5 — это 120. По формуле Стирлинга получается так:

Строго говоря, это только первый член бесконечного ряда. С увеличением количества членом приближение будет всё точнее

Идем дальше. До этого мы условились, что в качестве подфакториальной переменной, рассматриваем только натуральные числа. А что, если бы нам захотелось вычислить факториал дробного числа? Оказывается, и такой факториал тоже существует.

Используются такие расчеты при статистическом описании нейронных сетей. Данные вычисления приближенные, чтобы точно вычислять значение таких факториалов, используется Гамма-функция. Но это уже совсем другая история.

Есть еще двойной факториал, обозначаемый n!!. Формула его вычисления зависит от четности или нечетности аргумента.

Думаю принцип понятен без дополнительных пояснений.

Кроме того, существует «король факториалов», так называемый суперфакториал, который равен произведению факториалов числа, меньше либо равного данному:

Ну а дальше пошло-поехало: придумали гиперфакториалы, которые равны произведениям суперфакториалов, а потом и вовсе обобщили в m-кратный факториал.

Вот еще несколько интересных свойств факториала и заканчиваем:

1) n! — никогда не является квадратом какого-либо числа.

Источник

Факториал числа n – это произведение чисел от 1 до n. Определён только для целых неотрицательных чисел. Формула факториала:

Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала.

Это очень просто, вот пример:

Таблица факториалов

Свойства факториалов

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.

Формула Стирлинга

Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:

Расчет по предыдущему значению

Функцию легко вычислить из предыдущего значения:

А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0.

Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.

Некоторые очень большие значения

Онлайн калькулятор поможет сделать вычисление – всего лишь надо найти знак, похожий на «x!» или «n!». Нужно обратить внимание, что браузеры могут испытывать затруднения при попытке отобразить более крупные числа и может произойти сбой.

Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.

Примеры вычисления факториалов больших чисел:

70! приблизительно 1 19785716669969869891796072783721 x 10100, что немного больше, чем «гуголь» (1 и 100 нулей);

100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;

200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.

Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.

Программа на языке Паскаль:

На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.

Источник