для чего нужны формулы приведения
Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения
Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi><2>+a\), \(\frac<\pi><2>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi><2>+a\), \(\frac<3\pi><2>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.
Как быстро получить любую формулу приведения
Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:
Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
— как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?
Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi><2>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi><2>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi><2>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).
В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi><2>-a)=-. \)
Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида 
к функциям аргумента 
. С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до 
радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.
Формулы приведения:
Для использования формул приведения существует два правила.
1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.
Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет
2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».
На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.
Пример:
Вычислить 
Воспользуемся формулами приведения:
Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен «+». Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.
Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Формулы приведения
Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, выполняющиеся при всех значениях аргумента (из общей области определения).
Правила преобразования формул приведения.
2) Определяем знак («+» или «-«) значения первоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя.
Формулы приведения.
Закон формул приведения, или как, не заучивая формулы, знать их.
1. Определяем знак функции в нужной четверти.
2. Пользуемся, ниже приведенными, правилами:
Функция меняется на кофункцию.
(синус на косинус либо в обратную сторону, тангенс на котангенс либо в обратную сторону).
Функция на кофункцию НЕ изменяется.
Выше записанные формулы представляют в виде таблицы:
Рассчитать тригонометрические и другие формулы вы можете на нашем инженерном калькуляторе онлайн
Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило
Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.
Формулы приведения. Список
Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π 2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии.
Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов.
Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы.
В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.
Примеры использования формул приведения
Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров.
В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.
Возьмем тот же угол α = 16 π 3 и вычислим его тангенс
Пример 1. Использование формул приведения
Представим угол α = 16 π 3 в виде α = π + π 3 + 2 π · 2
Этому представлению угла будет соответствовать формула приведения
t g ( π + α + 2 π z ) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π · 2 = t g π 3
Воспользовавшись таблицей, укажем значение тангенса
Пример 2. Использование формул приведения
Наконец, для третьего представления угла запишем
Пример 3. Использование формул приведения
Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее
Пример 4. Использование формул приведения
Представим sin 197 ° через синус и косинус острого угла.
Для того, чтобы можно было применять формулы приведения, нужно представить угол α = 197 ° в одном из видов
Теперь посмотрим на формулы приведения для синусов и выберем соответствующие
Мнемоническое правило
1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Угол α должен лежать в пределах от 0 до 90 градусов.
2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы.
Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила.
Пример 1. Использование мнемонического правила
А теперь заглянем в формулы, приведенные выше, и убедимся в том, что мнемоническое правило работает.
Пример 2. Использование мнемонического правила
1. Представим углол α = 777 ° в необходимом виде
Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз.
Угол α должен быть острым!
Пример 3. Использование мнемонического правила
Представим угол α = 5 π 3 в необходимом виде и воспользуемся правилом
Неверный результат обусловлен тем, что угол 2 π 3 не явдяется острым.
Формулы приведения. Доказательство
Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса.
Приведем доказательство формул приведения для синусов и косинусов
С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать
В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку.
Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше.
Формулы приведения. Примеры из ЕГЭ
Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi><2>+a\), \(\frac<\pi><2>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi><2>+a\), \(\frac<3\pi><2>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.
Как быстро получить любую формулу приведения
Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:
Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
— как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?
Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi><2>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi><2>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi><2>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).
В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi><2>-a)=-. \)
Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?
Здесь правило еще проще:
— если «точка привязки» \(\frac<\pi><2>\) (\(90^°\)) или \(\frac<3\pi><2>\) (\(270^°\))– функция меняется на кофункцию;
— если «точка привязки» \(π\) (\(180^°\)) или \(2π\) (\(360^°\)) – функция остается той же.
Точки, обозначающие \(\frac<\pi><2>\) \((90^°)\) и \(\frac<3\pi><2>\) \((270^°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».
Точки же, обозначающие \(π\) (\(180^°\)) и \(2π\) (\(360^°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».
Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:
Углы \(<41>^°\) и \(<49>^°\) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: \(49^°=90^°-41^°\). Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).
Теперь применим к синусу формулу приведения:
\(90^°-41^°\) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;
В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.