для чего придумали дроби
История возникновения и развития обыкновенных и десятичных дробей
Дробь — это число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. Они делятся на два типа:
Мы складываем, вычитаем, умножаем и делим дроби, но не задумываемся о том, как они появились. Между тем, история их возникновения, ровно как и рождения любой составляющей современной арифметики, интересна и самобытна.
История возникновения обыкновенных дробей
Как и почему наши предки создали дроби? Причин две: одна практичная, другая — более возвышенная.
Со временем у людей начала появляться потребность в более точных вычислениях. Привычные всем элементарные цифры дробили на несколько частей, и самой мелкой единице меры давали собственное название. Так появились такие определения, как половина, треть, четверть, и так далее.
Древний Египет известен своими невероятными открытиями в области математики. Известен математический папирус Ринда — древнеегипетское учебное руководство по арифметике, в котором и были впервые упомянуты египетские дроби. Для обозначения обыкновенной дроби древние египтяне использовали символ “рот” (вытянутый овал). Некоторые значения (например, 1 2 ) обозначались немного иначе — своеобразными символами. В первую очередь дроби были необходимы для сложных расчетов при строительстве храмов и пирамид. Как мы убеждаемся сейчас, эти расчеты были настолько точными, что большинство творений архитектуры того времени радуют туристов и по сей день.
Разумеется, на этом история появления дробей в математике не закончилась. Из Древнего Египта арифметические символы распространились в Древнюю Грецию, а позже — по всему миру. Некоторые математики, в числе которых был и александрийский ученый Клавдий Птолемей, сомневались в удобстве и правильности египетской системы.
Встречаются развитые системы и в Индии — в частности, в трудах математика Брахмагупты. Обыкновенные дроби записывались им так же, как и сейчас, за единственным исключением — горизонтальная или диагональная черточка отсутствовала, и цифры “висели” в воздухе.
Как появились десятичные дроби
А какова история появления десятичных дробей? Первое упоминание о них относят к третьему веку нашей эры — они появляются в “Математическом трактате” Сунь-Цзы.
Десятичные дроби стали спасением при громоздких вычислениях. Поэтому неудивительно, что наибольшее распространение и “вторую жизнь” они получили в девятнадцатом веке — во время расцвета промышленности, торговли, науки и техники.
Дроби на Руси
Практическое применение дробям нашли в вычислении налогов в пятнадцатом, шестнадцатом и семнадцатом веках. А вот термин “дробь” появился на столетие позже. Как несложно догадаться, слово произошло от глагола “дробить”, “делить на части”.
В шестнадцатом веке в России, как и во всем мире, начала распространяться десятичная система.
Многие школьники и учителя признают, что учение о дробях — одно из самых комплексных и сложных в арифметике. А появилась эта система исчисления благодаря бытовым практическим задачам — в древнем мире долями распределялись не высоколобые ученые, а обычные труженики, которые делили между собой деньги, еду и вещи. Но человек — удивительное существо, способное усложнить и усовершенствовать любую, даже самую примитивную систему. За что мы сейчас и благодарим ученых и математиков прошлого.
Для чего придумали дроби
Исследовательские работы и проекты
Проект «Обыкновенные дроби в жизни людей»
В индивидуальной исследовательской работе по математике на тему «Обыкновенные дроби в жизни людей» автором работы была проанализирована научная литература по алгебре, и дано развернутое определение понятия «обыкновенная дробь», а также изучена важность обыкновенных дробей в повседневной жизни.
Подробнее о работе:
Учебная работа по математике «Обыкновенные дроби в жизни людей» в 5 классе школы рассматривает необходимость дробей в повседневной жизни человека. Автор акцентирует внимание на том, что каждый день нам приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа. Поэтому тема проекта актуальна и интересна для изучения.
Оглавление
Введение
1. Понятие дроби.
2. История возникновения дробей.
3. Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека.
3.1 Дроби для профессии «Разметчик».
4. Практическая часть.
4.1. Мои наблюдения.
Заключение
Список использованной литературы
Введение
С первого знакомства с дробями было понятно, что они очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними.
В обычной жизни, и взрослым, и детям каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа, что является актуальностью данной темы.
Мне стало интересно узнать: как и когда появились дроби? В какой сфере жизни больше всего практически их применяют? Хотелось в ходе исследования этого вопроса убедиться и убедить других в необходимости дробей в повседневной жизни.
Объект исследования: обыкновенные дроби
Предмет исследования: использование дробей в нашей повседневной жизни.
Цель: показать, что дроби нужны не только в математике, но и в повседневной жизни.
Понятие дроби
В математике применяются следующие виды дробей:
Дроби разные нужны, дроби всякие важны
Десятичная дробь, это дробь, которая записывается без знаменателя.
Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д.
История возникновения дробей
Память человечества не сохранила для нас имя изобретателя колеса. Также невозможно назвать точно даже тот отрезок времени, когда появились дроби.
Можно предположить, что потребность делить целое на части возникала ещё в первобытном обществе. Могло быть и так…
Дроби в Древнем Египте
У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Одним из первых известных упоминаний о дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 1/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Египтяне ставили иероглиф (ер, «один из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби.
Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь 7/8 они записывали в виде ½ ¼ 1/8, но знак «+» не указывали. А сумму 4+1/3 записывали в виде 41/3. Такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась до сих пор.
Творческие проекты и работы учащихся
В данном исследовательском проекте по математике на тему «Обыкновенные дроби в жизни людей» автор изучает историю возникновения дробей, даёт определение «обыкновенная дробь», а также наглядно показывает обыкновенные дроби.
Подробнее о проекте:
Автор творческого проекта по математике на тему «Обыкновенные дроби в жизни людей» изучил использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека, а также порассуждал и аргументированно доказал важность знания и применения дробей для профессии «Разметчик». Также в работе можно найти определение других математических дробей.
Оглавление
Введение
1. Теоретическая часть.
1.1 Понятие дроби.
1.2 История возникновения дробей.
1.3 Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человек.
1.3.1 Дроби для профессии «Разметчик».
2. Практическая часть.
2.1. Мои наблюдения.
Заключение
Список использованной литературы
Введение
С первого знакомства с дробями было понятно, что они очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними.
В обычной жизни, и взрослым, и детям каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа, что является актуальностью данной темы.
Мне стало интересно узнать: как и когда появились дроби? В какой сфере жизни больше всего практически их применяют? Хотелось в ходе исследования этого вопроса убедиться и убедить других в необходимости дробей в повседневной жизни.
Объект исследования: обыкновенные дроби
Предмет исследования: использование дробей в нашей повседневной жизни.
Цель: показать, что дроби нужны не только в математике, но и в повседневной жизни.
Понятие дроби
В математике применяются следующие виды дробей:
Дроби разные нужны, дроби всякие важны
Десятичная дробь, это дробь, которая записывается без знаменателя.
Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д.
История возникновения дробей
Можно предположить, что потребность делить целое на части возникала ещё в первобытном обществе. Могло быть и так…
Дроби в Древнем Египте
У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Одним из первых известных упоминаний о дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 1/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Египтяне ставили иероглиф (ер, «один из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби.
Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь 7/8 они записывали в виде ½ ¼ 1/8, но знак «+» не указывали. А сумму 4+1/3 записывали в виде 41/3. Такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась до сих пор.
Вавилонские дроби
Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы. Число 60 прекрасно делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян.
Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602, 603 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360˚, градуса на 60 мин., минуты на 60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическимидробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
Дроби в Древней Греции
Греки работали с обыкновенными дробями не часто, поэтому использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятеричным дробям.
Недостатки греческой системы счисления относят к их любви к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали, как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое число – дробь, – греки понимали, как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике.
Дроби в Древнем Китае
В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзу-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.
Дроби на Руси
В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке. Происходит оно от слова «дробить, разбивать, ломать на части». В русских рукописных арифметиках XVII в. дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах существуют следующие названия дробей на Руси:
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями. У индийского математика Брахмагупты найдена достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека
В медицине. Чтобы приготовить необходимое лекарство нужно знать его состав, записанный с помощью дробей, или, когда врач назначает больному ½ таблетки.
Дроби в кулинарии. Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.
Дроби в музыке. Учащиеся музыкальной школы знакомятся с дробями раньше, чем в общеобразовательной школе. С первых дней занятий дети знакомятся с такими понятиями как размер и длительности нот. Древнегреческий философ Пифагор (570 г. до н. э.), один из самых первых установил связь музыки и математики. Он создал учение о звуке. Пифагор связал длительность звучания нот с дробями.
Счёт длительностей в музыке ведётся от целой ноты, которая считается до четырёх. В целой ноте 2 половинные, 4 четверти, 8 восьмых, 16 шестнадцатых. Так музыка живёт в согласии с математикой.
Дроби в географии: Материк Евразия занимает 1/3 часть суши;
Масштаб карты равен 1/50000
Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
Например, масштаб карты 1/10000 означает, что 1см на карте соответствует 10000 см на местности.
Дроби в спорте. Когда смотрим ½ финала матча по футболу.
Дроби в пропорции человека тоже связаны с дробями. Голова маленького ребенка составляет 1/5 часть роста человека. Голова подростка – 1/6. А голова взрослого человека – 1/8 часть роста. Основываясь на этих данных, была создана кукла «Барби».
В настоящее время невозможно представить ни одну отрасль промышленности или сельского хозяйства, или строительства, где бы в расчётах не встречалось дробных чисел.
Дроби для профессии «Разметчик»
Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т. д.
Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Разметчик подумал, произвел какие-то арифметические расчеты с дробями и нашел все-таки самый экономный способ деления данных пластинок.
Впоследствии он легко дробил 5 пластинок для распределения их равными долями между шестью деталями, 13 пластинок для 12 деталей, 13 пластинок для 36 деталей, 26 для 21 и т.п.
Оказывается, разметчик представил дробь 7\12 в виде суммы единичных дробей 1\3 + 1\4. Значит, если из 7 данных пластинок 4 разрезать на три равные части каждую, то получим 12 третей, то есть по одной трети для каждой детали. Остальные 3 пластинки разрежем 4 равные части каждую, получим 12 четвертей, то есть по одной четверти для каждой детали. Аналогично, используя представления дробей в виде суммы единичных дробей 5\6 = 1\2+1\3; 13\12 =1\3+3\4; 13\36 =1\4+1\9.
Практическая часть. Мои наблюдения
Ситуация 1. В парке стоит молодой человек с букетом цветов:
Дроби в кулинарии. «Пряники». Видеоролик. (Приложение 2)
Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.
Ситуация 2. Ученик в одежде повара. Готовит тесто для пряников.
— Для пряников понадобится 1 яйцо, один с четвертью стакана муки, две с половиною столовой ложки меда, треть чайной ложки соли, половина чайной ложки имбиря. Всё тщательно перемешиваем и печем пряники.
Дроби в кулинарии. «Пирожное». Видеоролик (Приложение 3)
Приготовленные блюда нужно умело делить на порции.
Ситуация 3. На столе стоит тарелка. В ней 5 пирожное.
— На день рождения пришли 6 друзей. Передо мной встал вопрос: «Как поровну разделить 5 пирожное между 6 человек»?
Решение было такое: нужно 5 пирожное разделить пополам каждый. Затем ещё 2 пирожное разделить на 3 части. Получается 6 абсолютно равных частей.
Дроби в математике.
Учитель математики после изучения сокращения дробей задал домашнее задание. Найти значение выражения рациональным способом.
На первый взгляд, обыкновенные натуральные числа. Сначала надо решить действия в скобках, потом делить и умножать. Но, здесь должна быть какая-то хитрость?! Надо найти рациональный способ. Я решил данное выражение так:
1) Записал выражение в виде дроби.
2) Преобразовал каждое натуральное число в виде произведения двух множителей.
3) В полученных дробях получились числа, которых можно сократить.
Заключение
При выполнении своего проекта, я узнал много нового и интересного о дробях. Думаю, что эти знания пригодятся в учебе. Прочитал много книг и разделов из энциклопедий. Познакомился с первыми дробями, которыми оперировали люди, узнал новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. А особенно то, что дроби используются почти во всех сферах деятельности человека, а это значит, что людям всех профессий нужно обязательно изучать дроби! Уметь решать задачи на дроби, знать правила сложения и вычитания, умножения и деления дробей.
Без знания математики, особенно знания дробей вся современная жизнь была бы невозможна. Например, у нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать, сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, то есть точно все измерить, Не было бы ни какой большой промышленности, ни какой коммерции.
И конечно, не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысяч других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование дробей, измерения «на сколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.
В заключении можно сказать, что дроби бывают разные, дроби бывают важные. Знание понятия математическая дробь очень важно!
Считаю, что материалы моей работы будут интересными для других учащихся. Они могут быть использованы как на уроке, так и для проведения учителями внеклассных мероприятий по математике.
Для чего придумали дроби
Изучение дробей продиктовано самой жизнью. Умение выполнять различные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с дробями мы сталкиваемся в повседневной жизни. Я захотела узнать, откуда появилось название этих чисел; кто придумал эти числа, нужна ли тема «Дроби», которую мы изучаем в школе, в моей жизни.
Объект исследования: история возникновения обыкновенных дробей.
Предмет исследования: обыкновенные дроби.
Гипотеза: если бы не было дробей – могла бы развиваться математика?
Цель работы: оформление в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях.
Задачи:
1. Изучить историю возникновения дробей в математике;
2. Отобрать наиболее интересные факты о дробях, которые можно использовать для составления разделов стенда.
3. Оформить стенд в кабинете математики.
Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем. Тем не менее, мы сталкиваемся с ним очень часто: дома, на улице, в магазине. Просыпаясь утром, мы смотрим на будильник и встречаемся с дробями. Мы используем дроби, когда взвешивают товар в магазине. В измерениях, когда определяют объем груза. Дроби окружают нас везде. С помощью дробей мы можем измерять длины, делить целое на части. А как измерить рост человека или расстояние между объектами, не зная дробей? Всё вокруг – дроби!
Актуальность: Современная жизнь делает задачи на дроби актуальными, так как сфера практического приложения дробей расширяется.
Методы исследования:
1. Поиск информации о дробях в различных источниках: интернете, художественной литературе, учебниках.
2. Анализ, сравнение, обобщение и систематизация информации.
Из истории обыкновенных дробей
С самых древних времён для решения жизненных практических вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопросы «Сколько?»: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от уездного центра и т. д. Так появились числа. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Когда человеку понадобилось придумать новые – дробные – числа, появились дроби. В древности к целым и дробным числам относились по-разному: предпочтения были на стороне целых чисел. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят этого делать», – писал основатель афинской Академии Платон.
Во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. «fractura», который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида 1/n. Дальнейшее развитие естественным образом идет в сторону рассмотрения этих дробей как единиц, из которых могут быть составлены дроби m/n – рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».
Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Важную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций.
В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» – разбивать, ломать на части. Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии: его стали использовать и арабы.
В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:
1/2 – половина, полтина
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину. О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVII в. «Статиячисленная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».
Дроби в других государствах древности
Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида1/n, где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Иногда вместо деления m:n производили умножение m• n.
Для этого применяли специальные таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. (Приложение).
Стенд «Математика вокруг нас»
Таблица «Запись дробей в Египте»
Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением.
В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Вычисляя на основе правила, аналогичного алгоритму Евклида, (наибольший общий делитель числителя и знаменателя), китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3 1/2 человека.
Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань:
• шао бань («малая половина») –1\3;
• тай бань («большая половина») –2\3.
Интересно, что вавилоняне предпочитали, постоянный знаменатель (равный 60, потому, видимо, что их система счисления была шестидесятиричной).
Римляне тоже пользовались лишь одним знаменателем, равным 12.
Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии. Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. Впервые такие дроби встречаются в «Правилах веревки» Апастамбы (VII-Vв. до н.э.), которые содержат геометрические построения и результаты некоторых вычислений. В Индии использовалась система записи – возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, – при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку.
Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IX в. в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому (аль-Хорезми). В торговой практике стран Ислама широко пользовались единичными дробями, в науке применяли шестидесятиричные дроби и в гораздо меньшей мере обыкновенные дроби.
«Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!»
Когда бы люди ни использовали деньги, они обязательно встречаются с дробями: в средневековье, 1 английский пенс = 1/12 шиллинга; в настоящее время, российская копейка =1/100 рубля.
Мерные системы несут в себе дроби: 1сантиметр = 1/10 дециметра = 1/100 метра.
В любые времена в моде присутствовали дроби. Всегда актуален фасон рукава три четверти. А укороченные брюки 7/8 – это прекрасная деталь гардероба.
С дробями можно встретиться на разных уроках. Например, в географии: «Во времена существования СССР, Россия занимала одну шестую часть суши. Теперь Россия занимает одну девятую часть суши». В изобразительном искусстве – при изображении фигуры человека. В музыке – ритм, размер музыкального произведения.
Человек встречается со словом «дробь» в жизни:
– Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья – дробь.
– Частые, прерывистые звуки – барабанная дробь.
– На флоте, команда «дробь!» – прекращение огня.
– Нумерация домов. Номер через дробь ставят у домов, пронумерованных по двум пересекающимся улицам.
– Дробь в танце. Русский народный танец невозможно представить без дробей и бега.
– Выбивать дробь зубами – стучать зубами (дрожа от холода, испуга).
В художественной литературе. Дениска, герой рассказа Виктора Драгунского «Надо иметь чувство юмора», задал однажды приятелю Мишке задачу: как разделить два яблока на троих поровну? И когда Мишка, наконец, сдался, торжествующе объявил ответ: «Сварить компот!» Мишка с Денисом ещё не проходили дробей и твёрдо знали, что 2 на 3 не делится?
Собственно говоря, «сварить компот» – это действия с дробями. Порежем яблоки на кусочки и будем количества этих кусочков складывать и вычитать, умножать и делить – кто нам помешает. Нам важно только помнить, сколько мелких кусочков составляют целое яблоко…
Но это не единственное решение данной задачи! Надо каждое яблоко поделить на три части и раздать всем троим по две таких части.
На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Например, нужно разделить поровну что-то, например, конфету, яблоко, кусочек сахара и т. п. Для этого кусочек сахара надо расколоть или разломить на две равные половины. Так же и с числами, чтобы получить половину, надо разделить или «разломить» одну единицу на две части. Отсюда и пошло название «ломанные» числа.
Различают три вида дробей:
1. Единичные (аликвоты) или доли (например,1/2, 1/3, 1/4, и т.д.).
2. Систематические, т.е дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа (например, степенью числа 10 или 60 и т.д.).
3. Общего вида, у которых числителем и знаменателем может быть любое число.
Существуют дроби «ложные» – неправильные и «реальные» – правильные.
Дробь в математике – форма представления математических величин с помощью операции деления, первоначально отражающая концепцию нецелых чисел, или долей. В простейшем случае – числовая дробь – отношение двух чисел
В дроби m/n (читается: «эм энных») число m, находящееся над чертой, называется числителем, а число n, находящееся под чертой – знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель показывает, сколько таких частей взяли. Черту дроби можно понимать как знак деления.
Первым европейским учёным который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фиббоначи (Леонардо Пизанский).
В 1202 году он ввёл слово «дробь».
Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд – греческий монах, ученый, математик.
Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби как сейчас стали арабы. Действия над дробями в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».
Обыкновенные дроби сыграли свою роль и в музыке. И сейчас в определённой нотной записи длинная нота –целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, шестнадцатые и тридцать вторые. Таким образом, ритмичный рисунок любого музыкального произведения, каким бы он сложным ни был, определяется обыкновенными дробями. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль европейцев: «Число правит миром».
«Человек подобен дроби: числитель – это он сам, а знаменатель то, что он о себе думает. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь» (Л.Н. Толстой) [9].
Основные результаты исследования
Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».
При работе я узнала много нового и интересного. Прочитала много книг и разделов из энциклопедий. Познакомилась с первыми дробями, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнала новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. В процессе выполнения работы я узнала много нового, думаю, что эти знания пригодятся в учебе.
Вывод: Необходимость в дробях возникла на очень ранней ступени развития человека. В жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди измеряли длины, площади земельных участков, объемы, массы тел, время, вели расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Так появились дроби и правила обращения с ними.
Практическая значимость работы
Я освоила навыки работы в текстовом редакторе и поработала с ресурсами Интернета. Отобрала материал для оформления в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях (Приложение). И оформила стенд (Приложение).
В результате исследования я подтвердила гипотезу: не могли люди обойтись без дробей, без дробей – не могла бы развиваться математика.