доказать что параллелограмм является квадратом
Докажите, что параллелограмм у которого стороны и диагонали равны является квадратом помогите пожалуйста?
Докажите, что параллелограмм у которого стороны и диагонали равны является квадратом помогите пожалуйста!
По признаку прямоугольника, который звучит : Если в параллелограмме
Мы получили что данный параллелограмм является прямоугольником и все стороны равны = > ; по определению квадрата(Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны) имеем, что данный параллелограмм(у которого все стороны равны и диагонали равны) является квадратом.
Докажите что если в параллелограмме диагонали равны то параллелограмм является прямоугольником?
Докажите что если в параллелограмме диагонали равны то параллелограмм является прямоугольником.
Докажите что если в параллелограмме диагонали равны то параллелограм является прямоугольником?
Докажите что если в параллелограмме диагонали равны то параллелограм является прямоугольником.
Привет помогите пожалуйста с задачами?
Привет помогите пожалуйста с задачами!
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА БУДУ ОЧЕНЬ БЛАГОДАРЕН?
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА БУДУ ОЧЕНЬ БЛАГОДАРЕН!
Докажите, что параллелограмм у которого стороны и диагонали равны является квадратом.
В параллелограмме ABCD диагонали равны?
В параллелограмме ABCD диагонали равны.
Докажите что ABCD является прямоугольником.
Докажите, что параллелограмм, у которого стороны равны и диагонали равны является квадратом?
Докажите, что параллелограмм, у которого стороны равны и диагонали равны является квадратом.
Докажите, что если у ромба диагонали равны, то он является квадратом?
Докажите, что если у ромба диагонали равны, то он является квадратом.
Докажите, что параллелограмм является прямоугольником?
Докажите, что параллелограмм является прямоугольником.
Если диагонали образуют равные углы с одной из его сторон.
По правилу так как у параллелограмма противолежащие стороны попарно параллельны и равны, тогда CD = 9 см. AD = 6см.
Гострий кут 30, тупий 150. Додаток.
Ннууууу этоооооо ттрууууддднооооо.
37 + 35÷2 = 36 ( по формуле (а + b)÷2) a и b основания.
37 + 35 и делим на 2 получилось 36.
А) ABE и FEB, CBE и DEB б)ABF и GFB ; CBF и EFB.
Проводим высоту BH Рассматриваем треугольник HBC cos60° = 1 / 2 cosуглаC = CH / BC CH / BC = 1 / 2 CH = 1 AC = 2 * CH = 2см.
Одна сторона х другая 4x периметр = 2 * (x + 4x) = 110 10x = 110 x = 11 – одна сторона 4 * 11 = 44 другая сторона.
Квадрат, его свойства и признаки.
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА ( I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом. 
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
ТЕОРЕМА ( III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
ТЕОРЕМА ( IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
ТЕОРЕМА ( V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
ТЕОРЕМА ( VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом. 
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом. 
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. 
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
Найдите периметр квадрата по данным на рисунке. 
Параллелограмм: свойства и признаки
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Как найти площадь параллелограмма:
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Как доказать, что фигура – параллелограмм? Какие его признаки?
Содержание:
Параллелограммом – 4-угольник, где противоположные стороны попарно параллельные, одинаковые по длине, а диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки. Изучим признаки параллелограмма по двум, четырём сторонам, внутренним углам, центру симметрии.
Что такое параллелограмм, свойства фигуры
Особенность высоты геометрической фигуры – отрезка, опущенного из любой точки многоугольника на противоположную ей сторону: отсекает от фигуры равнобедренный треугольник.
Свойства биссектрис – отрезков, делящих углы пополам:
У 4-угольника противоположные углы равны, а сумма прилегающих к одному отрезку составляет 180°.
Как доказать, что фигура параллелограмм
Признаки
Дан 4-угольник, где AB=CD, BC=AD. Доказать, что AB∥CD, BC∥AD.
Проведём диагональ BD. В итоге получим пару одинаковых треугольников, исходя из условий задачи и общего отрезка BD.
Отсюда вытекают равенства: ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 – подобные треугольники имеют одинаковые по величине углы, образованные подобными сторонами. Значит AB∥CD и BC∥AD (из свойства: если накрест расположенные углы равны, значит прямые будут параллельными).
В данном четырёхугольнике BC=AD, BC∥AD. Нужно доказать параллельность AB и CD для подтверждения, что это параллелограмм.
Исходя из условий, понимаем, что BCD и ABD – подобные треугольники. Из условия задачи: BC = AD, BD – общая для обоих, значит, ∠2 = ∠3 – следствие того, что накрест лежащие углы подобные. Из равенства 3-угольников: ∠1 = ∠4 получается, что AB параллельна CD.
Признаки параллелограмма по диагоналям с доказательством
Четырёхугольник обладает и прочими особенностями, рассмотрим одну на примере задачи: докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей.
Треугольник AOD равен BOC, потому что AD=BC – лежащие напротив стороны четырёхугольника. ∠1=∠2, ∠3=∠4 – они лежат накрест и параллельных прямых. Если треугольники подобные, значит: OC=OA, OB=OD.
Прочие способы как доказать параллелограмм
Получается, треугольник OAF равен OCE, потому что у них стороны AO = OC. Углы, расположенные у общей вершины O, также равны, ведь они вертикальные. ∠1=∠2 – следствие равности накрест лежащих при параллельных прямых углов. Как результат: OF=OE.
Если у четырёхугольника есть точка, которая обладает описанным свойством, её называют центром симметрии этой геометрической фигуры. Для рассматриваемого многоугольника центром симметрии является точка O, разделяющая диагонали на подобные отрезки.
При повороте геометрической фигуры вокруг центра симметрии на 180° она будет совмещена с предыдущим местоположением, ведь противоположные точки поменяются местами относительно оси симметрии.
Для проверки качества усвоения материала самостоятельно сформулируйте признаки параллелограмма без доказательств.
Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения
Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
На рисунке 16 изображен параллелограмм 
Рассмотрим свойства параллелограмма.
1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.
Действительно, углы 
и 
параллелограмма 
(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.
2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Доказательство:
Диагональ 
разбивает параллелограмм 
на два треугольника 
и 
(рис. 17). 
-их общая сторона, 
и 
(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых 
и 
и 
и секущей 
Тогда 
(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, 
и 
(как соответственные элементы равных треугольников). Так как 
то 
4. Периметр параллелограмма 
5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство:
Пусть 
— точка пересечения диагоналей 
и 
параллелограмма 
(рис. 18). 
(как противолежащие стороны параллелограмма), 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущих 
и 
соответственно). Следовательно, 
(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда 
(как соответственные стороны равных треугольников).
Пример:
Дано: 
параллелограмм, 
— биссектриса угла 
(рис. 19). Найдите: 
Решение:
1) 
2) 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущей 
3) 
(по условию), тогда 
Тогда 
— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), 
4) 
Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.
На рисунке 20 
— высота параллелограмма, 
Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 
и 
— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам 
и 
Рассмотрим признаки параллелограмма.
Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство:
1) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Рассмотрим 
и 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
— общая сторона, 
(по условию). Следовательно, 
(по двум сторонам и углу между ними). Тогда 
(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых 
и 
секущей 
Поэтому 
(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому 
-параллелограмм.
2) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Тогда 
(по трем сторонам). Поэтому 
и следовательно, 
(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
3) Пусть в четырехугольнике 
диагонали 
и 
пересекаются в точке 
и 
(рис. 23). 
(как вертикальные). Поэтому 
(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда 
Аналогично доказываем, что 
Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что 
— параллелограмм.
4) Пусть в параллелограмме 
(рис. 16). Так как 
то 
т. е. 
откуда 
Но 
и 
— внутренние накрест лежащие углы для прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
Пример:
В четырехугольнике 
Докажите, что 
— параллелограмм.
Доказательство:
Пусть 
— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим 
и 
— их общая сторона, 
(по условию). Тогда, 
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 
Но тогда в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.
О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).
В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.
Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.
Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.