доказать что скалярное произведение полярного вектора на аксиальный есть псевдоскаляр

Доказать что скалярное произведение полярного вектора на аксиальный есть псевдоскаляр

Лекция 4

Векторы. Преобразование векторов. Матрица направляющих косинусов. Полярные и аксиальные векторы. Условие инвариантности физических законов по отношению к преобразованию координатных систем

Пример. Как мы видели, угол поворота тела вокруг какой-то оси можно, казалось бы, рассматривать как вектор в том смысле, что он имеет численное значение, равное углу поворота, и направление, совпадающее с направлением оси вращения, котоpое определяется по правилу буравчика. Однако два таких поворота не складываются по закону сложения векторов, если только углы поворота не являются бесконечно малыми.

В качестве примера рассмотрим два последовательных поворота на угол вокруг двух осей, пересекающихся под углом ( и ) (pис. 1).

Рис. 1. Произведение двух поворотов.

Как мы уже знаем, для задания вектора в трехмерном пространстве достаточно задать три числа — его проекции, например на оси декартовой системы координат:

Рис. 2. Старая и новая (повернутая) системы координат.

Вектор можно записать и в новой системе координат как

Оба выражения представляют собой один и тот же вектор, поэтому они равны:

и аналогично два других равенства.

характеризующие ориентацию новой системы координат относительно старой, называются направляющими косинусами. Используя их, получим

Если использовать правило суммирования Эйнштейна, то эти три равенства можно записать компактно в виде одного равенства

А поворот системы координат характеризуется матрицей направляющих косинусов (или просто матрицей поворота )

Выясним свойства элементов этой матрицы. Для этого выразим старые орты через новые:

Умножим это равенство скалярно на :

то есть сумма квадратов направляющих косинусов первой строки матрицы равна единице. Аналогичным образом записав

можно после скалярного умножения этого равенства на получить

и таким же образом —

то есть сумма квадратов элементов каждой строки матрицы равна единице. Точно так же можно доказать, что сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы равна единице. Например,

Теперь возьмем равенство

Старые и новые проекции связаны соотношениями

Умножим их друг на друга и воспользуемся ортогональностью столбцов матрицы :

Рис. 3. Поворот системы координат на угол вокруг оси z.

До сих пор речь шла о поворотах систем координат. Однако, как известно, существует две системы координат, правая и левая. Очевидно, что при поворотах правая система координат всегда остается правой, а левая — левой. Но существуют такие преобразования координат, которые правую систему преобразуют в левую и наоборот. Например, это может быть инверсия одной из осей, (pис. 4).

Рис. 4. Пpеобpазование компонент вектоpа пpи инвеpсии одной из осей.

Очевидно, что при этом между проекциями одного и того же радиус-вектора в новой и старой координатных системах имеются следующие соотношения:

Рис. 5. Вектор угловой скорости.

Рис. 6. При таком зеркальном отражении направление вращения меняется на противоположное!

в то время как координата обычного радиус-вектора осталась бы прежней,

Это означает, что радиус-вектор точки и угловая скорость преобразуются по-разному, если поменять правую систему координат на левую.

Но если матрица переводит правую систему координат в левую (и наоборот), то законы преобразования этих векторов не совпадают:

Примерами полярных векторов в физике являются радиус-вектор, скорость, ускорение, сила:

При инверсии системы координат (то есть пpи изменении знака всех осей) правая система переходит в левую и полярные векторы меняют свой знак:

а аксиальные векторы при этом не изменяются (потому что их закон пpеобpазования отличается знаком минус):

В физике все физические законы должны выражаться в инвариантной форме, то есть не должны зависеть от выбора системы координат. Это, в частности, означает, что невозможно, напpимеp, равенство аксиального и полярного векторов, потому что оно будет выглядеть по-разному в левой и правой системах координат. Например, если некий закон в правой системе выглядит как

то в левой системе — как

Таким обpазом, физический закон выглядит по-разному в левой и правой системах координат, в природе же такого различия не существует. Левая система ничем не хуже правой. По той же причине нельзя складывать (вычитать) аксиальный и полярный векторы, так же как нельзя складывать величины разной размерности, например секунды и граммы.

Поэтому всегда при записи какого-либо векторного равенства необходимо проверять, не изменяется ли оно при переходе от правой системы координат к левой. Поскольку правая система координат переходит в левую при инверсии, а закон преобразования векторов при инверсии выглядит особенно просто,

то нужно к обеим частям равенства применить инверсию.

Например, исследуем таким образом равенство

то есть и правая часть нашего равенства изменила знак при инверсии, а следовательно, это тоже полярный вектор. Таким образом, после инверсии системы координат равенство осталось прежним,

и мы, следовательно, имеем равенство двух полярных векторов.

Из этого рассуждения можно легко прийти к выводу, что векторное произведение двух полярных векторов есть вектор аксиальный,

поскольку при инверсии левая часть знака не изменяет:

Векторное произведение двух аксиальных векторов также является аксиальным вектором.

А что будет, если скалярно перемножить между собой полярный и аксиальный векторы?

1 На самом деле правильно говорить не о сумме, а о произведении поворотов, так как матрицы направляющих косинусов двух последовательных поворотов перемножаются.

2 Индекс называется немым индексом. Его можно обозначать любой буквой.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Задача из книги Сивухина

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось fronnya 23.05.2014, 20:57, всего редактировалось 1 раз.

вы имеете ввиду это? и как его выразить? через что?

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 23.05.2014, 20:58, всего редактировалось 1 раз.

Ну, вы же раскрыли скобки в и получили , т. е. есть равенство . Надо только его преобразовать.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 23.05.2014, 21:12, всего редактировалось 2 раз(а).

так что , только числитель другой.

Таким же образом можно почти любой квадратичной форме сопоставить одну симметричную билинейную : такую, что . (Только в векторных пространствах над полем характеристики 2 не получится, так что над вещественными и комплексными — порядок.) Квадрат нормы (длины вектора) — квадратичная форма, и скалярное произведение — соответствующая ей билинейная.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 23.05.2014, 21:16, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось fronnya 23.05.2014, 22:09, всего редактировалось 7 раз(а).

и так как все, что справа- инвариант, то из равенства частей следует, что и левая часть выражения- инвариантна. уряя

А если у нас есть два вектора: полярный и аксиальный и соответственно, то их скалярное произведение будет псевдоскаляром. Сейчас я попытаюсь это доказать, проверьте пожалуйста, правильно ли я сейчас это докажу.

Запишем скалярное произведение этих двух векторов в, например, правой системе координат:
Теперь запишем скалярное произведение этих же векторов, но в левой системе координат, так, как у нас по условию полярный, то его компоненты, а тогда и сам конечный вектор должен сменить знак: И раз уж вектор поменял свой знак, то он по определению будет полярным, а само скалярное произведение векторов и — псевдоскаляр. Наверное стоило создать отдельную тему для этого.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 24.05.2014, 11:28, всего редактировалось 1 раз.

Какие могут быть ортонормированные базисы, пока не введено скалярное произведение?

Но, ладно, мы ввели его пока зависящим от одного базиса. Теперь если выразить его в координатах в другом базисе и потребовать ортонормированность того базиса, получится такое же выражение, как сейчас. Независимость от базиса готова. Ортогональные преобразования хорошо пойдут, если скалярное произведение введено своими аксиомами.

Конечно, ортонормированность базиса можно определить, имея в наличии одну только норму… но это как-то неудобно, всё равно произведение возникнет. Вот в задаче норма уже дана.

Последний раз редактировалось fronnya 24.05.2014, 16:40, всего редактировалось 1 раз.

Какие могут быть ортонормированные базисы, пока не введено скалярное произведение?

Но, ладно, мы ввели его пока зависящим от одного базиса. Теперь если выразить его в координатах в другом базисе и потребовать ортонормированность того базиса, получится такое же выражение, как сейчас. Независимость от базиса готова. Ортогональные преобразования хорошо пойдут, если скалярное произведение введено своими аксиомами.

Конечно, ортонормированность базиса можно определить, имея в наличии одну только норму… но это как-то неудобно, всё равно произведение возникнет. Вот в задаче норма уже дана.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Доказать что скалярное произведение полярного вектора на аксиальный есть псевдоскаляр

Я прочитал замечательную книгу, называется «Геометрические векторы», которая хороший порядок в голове навела. Помимо прочего, разобрался с тем, что мне с юности мешало и не нравилось в векторном произведении.

Мне казались странными две вещи. Во-первых, что векторное произведение, в отличие от скалярного, «привязано» к трехмерному пространству, а в другом количестве измерений его непонятно, как определять. Во-вторых, что для его определения нужно правило правой руки (оно же «правило буравчика»): мне казалось очень странным, что этот произвольный выбор правила правой руки (а не левой, например) может быть «зашит» в законы физики.

Про первый вопрос, о сути векторного произведения не только в трехмерном пространстве, я напишу потом в записи о всей книге и ее подходе, если соберусь. А о правиле правой руки постараюсь вкратце рассказать тут.

Но векторное произведение так не работает. Оно в зеркальном отражении меняется на обратное тому, каким, казалось бы, должно быть. И понятно, почему так происходит: из-за правила правой руки. Ведь в зеркальном отражении правая рука становится левой, а векторное произведение там, в отражении, все равно нужно по определению делать по правилу правой.

Поток тока по замкнутому контуру создает магнитное поле, которое определяется с помощью векторного произведения. В зеркальном отражении нам хотелось бы, чтобы оно указывало в том же направлении, снизу вверх, но из-за правила правой руки оно теперь направлено сверху вниз.

У колес машины есть угловая скорость, которая определяется через векторное произведение. У машины слева оно направлено влево (красная стрелка). Справа зеркальное отражение той же машины. Мы бы ожидали, что в зеркальном направлении стрелка будет теперь идти вправо, но из-за правила правой руки она опять направлена влево.

В общем, векторное произведение ведет себя как обычный вектор, если мы всего лишь поворачиваем систему координат (т.е. смотрим под другим углом) или двигаем ее. Но если мы делаем отражение системы координат (т.е. смотрим на зеркальное отражение), то оно меняет знак в сравнении с обычными векторами, и поэтому называется псевдовектором. Это лишний раз подчеркивает странность произвольного выбора правила правой руки, и того, что физические величины, которые ведут себя в соответствии с законами природы, должны почему-то ему подчиняться.

Теперь другой взгляд на все это, из книги Вайнрайха «Геометрические векторы».

Зачем нужны аксиальные векторы? Так вот векторное произведение как раз естественным образом и является аксиальным вектором. Мы умножаем два вектора a и b, получаем отрезок определенной величины, перпендикулярный их плоскости. Для того, чтобы дать ему «стрелку», нам нужно что-то вроде правила правой руки. Но чтобы дать ему аксиальное направление, ничего особенного не нужно: оно естественным образом задается как направление вращения от a к b. При этом, как и требуется, от перестановки мест множителей направление произведение меняется на обратное.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Скаляр, псевдоскаляр, вектор и псевдовектор.

Последний раз редактировалось Solaris86 12.09.2017, 17:43, всего редактировалось 3 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Munin 17.11.2019, 20:48, всего редактировалось 3 раз(а).

Есть поле (это или его элементы дальше называются скалярами) и векторное пространство над ним Это означает:
— что и образуют группы по сложению;
— и что образует группу по умножению.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Давайте нет. Обсуждать заточку мечей можно не в присутствии новичка, который пока простейших вещей не понимает.

Dan B-Yallay
К сожалению, у меня нет для вас ответа, вписывающегося в цензуру, принятую на этом форуме.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Dan B-Yallay 12.09.2017, 20:59, всего редактировалось 3 раз(а).

Тогда наверное правильней не «группу», а группЫ. И не образуют, а являются.
Тем не менее, спасибо за перевод на нормальный русский язык.

Заслуженный участник

Это не объяснение, а «суперпопса». Понятие «поле» вовсе не исчерпывается «группами по сложению и умножению». Предлагаю ТС не считать, что с помощью таких «разъяснений» он может понять, что такое поле и векторное пространство, а обратиться к учебникам по алгебре, где все это корректно объяснено.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось kp9r4d 13.09.2017, 18:13, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Slav-27 17.11.2019, 17:33, всего редактировалось 4 раз(а).

Когда я увидел эту тему и стал писать ответ, я решил сначала изложить некоторую теорию, которую традиционно многие не понимают. Чем дальше я писал, тем больше хотелось написать, и в конце концов получился длинноватый текст. Предлагаю, тем не менее, попробовать его прочитать.

Что такое векторы, псевдовекторы и т. д.

1.1. Что это за текст

Судя по тому, как подробно вы выписывали все эти произведения, вас довольно сильно это интересует. Поэтому я написал довольно длинный текст, который, как мне кажется, содержит некоторую полезную информацию, касающуюся вашего вопроса, и в то же время интересен сам по себе.

1.2. Основное пространство

Мы будем рассматривать -мерное евклидово прстранство . Это -мерное вещественное векторное пространство с заданным на нём скалярным произведением. (Я подразумеваю, что вы это знаете, у вас линал же был?)

Группа линейных преобразований , сохраняющих длины векторов, называется ортогональной и обозначается . Её подгруппа, состоящая из преобразований, которые сохраняют ещё и ориентацию (то есть туда входят только вращения, но не отражения), обозначается .

Все числа у нас вещественные.

1.3. О двусмысленности слова «вектор»

Слово вектор используют как минимум в 2 разных смыслах.

Во-первых, вектором называют просто любой элемент любого векторного пространства.

1.4. Забегаем вперёд

Определение. Вектор в точке пространства задаётся так: каждой системе координат (т. е. каждому ортонормированному базису) пространства ставится в соответствие тройка вещественых чисел , причём эти столбцы для разных систем координат связаны следующим образом: пусть — столбец для , — столбец для и — (ортогональная) матрица перехода от к ; тогда .

Определение псевдовектора точно такое же, за исключением того что закон преобразования .

Определение скаляра : каждому базису ставится в соответствие число , причём для всех базисов число одно и то же.

Определение псевдоскаляра : каждому базису ставится в соответствие число , причём если базисы и одинаковой ориентации, то число одно и то же, а если разной, то числа отличаются знаком: .

Все эти штуки считаются прикреплёнными к какой-нибудь точке пространства , хотя в самом определении она не участвует.

Вся остальная часть текста представляет собой подробное пояснение этих четырёх определений. Больше там ничего принципиально нового по сути нет.

Здесь выписаны некоторые общепринятые соглашения; возможно, вы уже их знаете.

2.1. Обозначения компонент векторов, операторов.

Пусть задан базис . Любой вектор по нему раскладывается: . Это записывают ещё короче, пропуская знак суммы: .

Пусть вектор, а линейный оператор. У него есть матрица в базисе ; её элемент в -й строке и -м столбце обозначают . Пусть ; тогда в компонентах это запишется .

2.2. Как обозначают компоненты, если используется 2 разных базиса

Часто приходится рассматривать 2 базиса и .

Тут примем такое соглашение: векторы базиса обозначаются и вообще (индекс пробегает значения ), а векторы базиса обозначаются и вообще ( опять пробегает значения ).

Вообще условимся обозначать то, что относится к базису , индексами без штрихов, а то, что относится к — индексами со штрихами. В любой паре связанных индексов у нас будут либо оба со штрихами, либо оба без штрихов. Разложения вектора при таком соглашении записываются .

Пусть — линейное преобразование, переводящее базис в (то есть вектор в ). Компоненты матрицы записывают , так что .

Пусть вектор ; посмотрим, как выразить одни компоненты через другие, зная компоненты . Выписываем: . То есть .

Примечание. Используют ещё другую систему обозначений: пишут штрихи не у индексов, а у самого символа, так что разложение вектора по двум разным базисам записывается , и т. д.

Преимущество такого способа заключается в том, что для многоиндексных символов получается меньше штрихов. Недостаток же в том, что в этой нотации проще написать неправильное выражение, которое выглядит как правильное (то есть написать бессмысленную свёртку по индексам, относящимся к разным базисам).

2.3. Два вспомогательных символа

Символ Кронекера — это просто единичная матрица (, остальные ноль).

Символ Ле&#769ви-Чиви&#769ты меняет знак при обмене любых 2 индексов местами, причём . Он однозначно определяется этими условиями: ; если хотя бы 2 индекса одинаковые, то он равен 0, и т. д.

Условимся, что индексы у этих символов можно писать хоть вверху, хоть внизу: , и т. д.

С помощью символа Леви-Чивиты удобно записывать векторное произведение:

, так что .

3. Наводящие соображения. Система координат как «точка зрения»

3.1. Объект, прицепленный к точке основного пространства

Предположим, мы хотим задать в некоторой точке пространства какой-то объект. Каким образом можно это сделать?

3.2. Пример: скорость

Но заковыка вот в чём. Сама частица никак не зависит от системы координат, то есть от той точки зрения, с которой мы на неё смотрим. Она вообще, может быть, не знает, что мы на неё смотрим и ввели какие-то координаты. Поэтому хочется думать, что и её скорость от координат не зависит.

3.3. Вид объекта с разных «точек зрения»

Пусть мы хотим в точке пространства задать некий объект .

Мы будем выбирать системы координат и смотреть на объект из них. Видеть его из системы координат мы будем как элемент некоторого множества . В случае скорости, — это векторное пространство .

Мы хотим, чтобы описание нашего объекта в выбранной системе координат однозначно определяло объект. Это значит, что если задано описание , то описание должно быть какой-то определённой функцией от него: . (Вид функции зависит от того, какие базисы и выбраны.)

В таких случаях говорят, что группа ортогональных преобразований действует на множестве .
4. Представления

Преобразование , соответствующее элементу , называют представителем элемента .

4.1. Продолжение примера про скорость

Посмотрим, по какому представлению ортогональной группы преобразуется столбец , которым мы хотим описывать скорость.

Но сначала подумаем: а какие вообще могут быть -мерные линейные представления ?

У нас была функция . В базисе это выглядит , и компоненты скорости, по нашему определению, . Пусть есть другой базис , тогда , и по нашему определению .

Итак, скорость, торчащая из точки пространства , преобразуется при ортогональных преобразованиях пространства по тому же представлению ортогональной группы, по которому преобразуются сами «точки» простанства . С одной стороны, это очевидно. С другой стороны, это нетривиальный факт, потому что подчёркиваю ещё раз: скорость, торчащая из — это не элемент !

4.2. Сумма представлений

Пусть -компонентный столбец преобразуется по представлению , а -компонентный столбец — по представлению ; можно составить из них один -компонентный столбец с компонентами ; представление, по которому он преобразуется, называется прямой суммой .

Тут как будто нет ничего интересного: задать объект — это всё равно, что задать пару объектов и .

4.3. Произведение представлений

Можно также из и составить -компонентный объект ( тензорное произведение и ). Представление, по которому он преобразуется, называется тензорным произведением представлений .

Например, если и — векторы (как вектор скорости из нашего примера), то их произведение преобразуется по закону .

Так же определяется тензорное произведение более чем 2 объектов, в результате получаются объекты с 3 индексами, с 4 и т. д. Разумеется, количество индексов не имеет особенного значения: в конце концов можно вместо 2 индексов и ввести один индекс, изменяющийся от до . Но если объект преобразуется по тензорному произведению каких-то представлений, то гораздо удобнее оставить несколько индексов.

5. Представления

Какие вообще бывают представления ? Теория представлений даёт ответ на этот вопрос:

Теорема. В каждой нечётной размерности у есть ровно одно (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление. В чётных размерностях неприводимых представлений нет.

Неприводимое представление можно обозначать числом, соответствующим размерности: и так далее.

5.1. Добавление: разложение представления на неприводимые

Представление имеет, очевидно, размерность . Но оно приводимо, как мы сейчас увидим, так что это не .

Пусть — тензор, преобразующийся по представлению . Любую матрицу можно разложить на симметричную и антисимметричную часть: . (То есть , а .) Симметричную часть можно ещё разложить на скалярную и бесследовую: (след матрицы есть — сумма диагональных элементов).

1. Скалярная часть. У скалярной матрицы только 1 независимый элемент, поэтому соответствующее прямое слагаемое есть . Очевидно, что эта часть действительно преобразуется тривиально (след не меняется при изменении базиса).

2. Антисимметричная часть. У антисимметричной матрицы всего независимые компоненты (те, что над главной диагональю). Значит, соответствующее представление либо , либо . Но оно явно нетривиально, поэтому (с точностью до эквивалентности!).

Раз представление эквивалентно , то, по определению, его можно превратить в выбором базиса в 3-мерном векторном пространстве антисимметричных матриц. Скажем это же по-другому: можно установить линейное взаимно-однозначное соответствие между антисимметричными матрицами и -компонентными столбцами таким образом, что соответствующий матрице столбец будет преобразовываться в точности как вектор. Проверьте, что такое соответствие устанавливается формулой .

3. Симметричная бесследовая часть. У симметричной матрицы 6 независимых компонент, поэтому у симметричной бесследовой 5. Можно доказать, что соответствующее представление неприводимо (но мы не будем).

Итак, .

6. Представления

Мы пока говорили о представлениях ; эта группа включает только повороты, но не отражения. А какие бывают неприводимые представления ?

Так как , то каждое представление — это расширение какого-то представления .

Обозначим отражение относительно всех координатных осей буквой (оно переводит в ). Любое несобственное ортогональное преобразование (в нечётной размерности!) представляется в виде композиции и какого-то собственного преобразования. Поэтому достаточно знать представление да ещё представитель оператора — и будет определено всё представление .

Заметим, что — тождественное преобразование.

6.1. Размерность 1: скаляры и псевдоскаляры

У , как мы знаем, есть единственное 1-мерное представление — тривиальное : каждое вращение представляется матрицей . Так как , то его представителем может быть только или .

Упражнение: проверьте, что смешанное произведение векторов — псевдоскаляр.

Ещё мы будем иногда пропускать плюсы, то есть писать вместо .)

6.2. Размерность 3: векторы и псевдовекторы

Там всё аналогично: можно убедиться, что можно представлять только либо минус единичной, либо плюс единичной матрицей.

Упражнение: проверьте, что векторное произведение векторов — псевдовектор.

6.3. Неприводимые представления размерности выше 3

Они нас не интересуют. Впрочем, там всё так же:

Теорема. Каждому неприводимому представлению группы ( нечётное, конечно же) соответствуют ровно 2 представления (обозначаем их и ). Других конечномерных неприводимых представлений нет.

6.4. Тензоры и псевдотензоры

Рассмотрим произведения векторных и псевдовекторных представлений. Непосредственно из формул преобразования очевидно, что , а и т. д., поэтому тензорные произведения можно обозначать просто , и т. д., вынося знак вперёд.

7. Что бывает, когда размерность основного пространства не 3

Мы везде считали, что основное пространство 3-мерно, и поэтому изучали представления группы .

В случае -мерного пространства нам пришлось бы изучать представления группы . Они, вообще говоря, устроены по-другому.

Лично я ни разу до этой темы его не видел, так что подозреваю, что оно мало зачем нужно. Тем не менее конструкция естественная. Но она определена только в плоскости! В 3-мерном пространстве непонятно, в какую сторону мерить угол (даже если сказано, какая 3-мерная система координат правая).

Тут надо разделять 2 вещи: 1) какой базис считают правым, 2) как рисуют картинки.

Рисуют же 3-мерную систему координат обычно таким образом, чтобы точки, у которых все координаты положительны, не были закрыты от зрителя другими октантами.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Dan B-Yallay 18.09.2017, 19:28, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Во-вторых, есть более тонкое понятие, которое тоже называют вектор. В этом смысле говорят, например, что «псевдовектор не является вектором», или «тензор 2-го ранга не является вектором».

Я не знаю, как избежать путаницы со словом вектор. Там, где совершенно необходимо будет указать на второй смысл слова, я буду писать дурацкую фразу «вектор в тонком смысле».

Заслуженный участник

Заслуженный участник

kp9r4d
Зато хорошо вяжется со спинорами. Они получаются совершенно так же, надо только вместо линейных представлений брать проективные (причём известно, что они в некотором хорошем смысле сводятся к линейным, для них в нужных случаях есть классификация и т. д.). Я думаю, это одна из причин, по которой во многих книжках по физике используют что-то похожее именно на этот подход. Да и вообще представления много для чего полезны, симметрии тензора кривизны изучать, например.

То есть я не говорю, что надо срочно всех переучивать, наоборот, но в курсе вот про это быть, по-моему, полезно.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник