для чего нужны ряды фурье

Курсовая «Ряды Фурье и их применение»

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный педагогический университет »

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Направление подготовки: 050.100.62 педагогическое образование

Профиль подготовки: математика

Форма обучения: очная

Ишматова Айгерим Кайрбековна,

3 курс, 304-М группа

Оглавление

Введение

Разложение функций в ряд Фурье – это математический прием, который можно наблюдать и в природе, если использовать прибор, чувствующий синусоидальные функции.

Данный процесс происходит, когда человек слышит какой-либо звук. Ухо человека устроено таким образом, что может чувствовать отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разной частоты, что, в свою очередь, позволяет человеку распознавать речь, слушать музыку.

Ухо человека воспринимает звук не целиком, а через составляющие его ряда Фурье. Струны музыкального инструмента производит звуки, представляющие собой синусоидальные колебания различных частот. Действительность разложения света в ряд Фурье представляет радуга. Зрение человека воспринимает свет через некоторые его составляющие разных частот электромагнитных колебаний.

Преобразованием Фурье является функция, которая описывает фазу и амплитуду синусоид, определенной частоты. Это преобразование используют для решения уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под действием энергии. Ряды Фурье решают задачу выделения постоянных составляющих в сложных колебательных сигналах, что позволило правильно трактовать полученные данные экспериментов, наблюдений в медицине, химии и астрономии [8].

Открытие данного преобразования принадлежит французскому математику Жан Батисту Жозефу Фурье. В честь, которого впоследствии было и названо рядом Фурье. Первоначально ученый нашел применение своего метода при изучении и объяснении механизмов теплопроводности. Было предположено, что изначальное нерегулярное распределение тепла можно представить в виде простейших синусоид. Для каждой, из которых будет определен температурный минимум, максимум и фаза. Функция, описывающая верхние и нижние пики кривой, фазу каждой гармоники называется преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор преобразования предложил способ разложения сложной функции в виде суммы периодических функций косинуса, синуса [2].

Целью курсовой работы является изучение ряда Фурье и актуальности практического применения данного преобразования.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1) дать понятие тригонометрического ряда Фурье;

2) определить условия разложимости функции в ряд Фурье;

3) рассмотреть разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций;

4) рассмотреть разложение в ряд Фурье непериодической функции;

5) раскрыть практическое применение ряда Фурье.

Объект исследования: разложение функций в ряд Фурье.

Предмет исследования: ряды Фурье.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.

1. Ряды Фурье в действительной области

1.1. Понятие периодической функции

В природе и технике мы часто сталкиваемся с периодическими функциями времени. Процессы, связанные с работой любой машины, любого механизма, процессы и явления, изучаемые в курсе физики, электротехнике дают нам примеры такого рода величин. В настоящее время периодические функции хорошо изучены и широко используются в различных областях техники.

Определение. Число называется периодом функции если для любого из области определения функции числа также принадлежат области определения и

Поэтому, обычно говоря о периоде функции, имеют ввиду наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (1).

то функции и – периодические функции с периодом 2 Аналогично, в силу равенств

Отметим некоторые свойства периодических функций.

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т является периодической функцией того же периода Т.

Так, например, функция – периодическая функция периода

2) Если функция имеет период Т, то функция имеет период .

Действительно, для любого

Например, для функции имеем:

Следовательно, эта функция имеет период и, по предыдущему свойству, такой же период будет иметь функция

Преобразуем последний интеграл:

В частности, если и из (3) следует

1.2. Тригонометрический полином

Это периодическая функция с периодом Имеем:

График синусоидальной функции получается из графика синусоиды следующим образом:

1) растяжением по оси с коэффициентом растяжения ;

2) сжатием графика с коэффициентом сжатия ;

2) Растянем этот график по оси в 2 раза и получим график функции

, изображенный на рисунке 2.

4) Сместим полученный график влево на и получим искомый график, изображенный на рисунке 4.

Сложение гармоник одной частоты (одного периода) дает гармонику той

же частоты. Действительно,

дает более сложную периодическую функцию, чем синусоидальная функция.

Определение. Функция вида

называется тригонометрическим полиномом n -го порядка.

Прибавим к сумме (7) постоянное слагаемое означающее сдвиг начала отсчета. Получим

Но оказалось, что если брать конечное число гармоник, то не всегда удается представить в виде суммы (8). В общем случае такое представление возможно, только если число слагаемых бесконечно, т.е.

Отметим несколько фактов, касающихся сходимости ряда (9).

В дальнейшем будем решать задачу разложения сложного колебания на сумму простых гармоник.

Определение. Представление периодических функций в виде суммы гармоник, называется гармоническим анализом.

1.3. Ортогональность тригонометрической системы функций

Определение . Нормой функции на отрезке называется число

Пример. Рассмотрим систему тригонометрических функций 1,

Ортонормированный система (1.10) не будет, так как

Учитывая последние равенства, получаем, что ортонормированной будет система функций

Заметим, что функции системы (10) ( а также системы (11)) линейно независимы.

Аналогично можно показать, что на система функций

является ортогональной, а система функций

Ортогональную (ортонормированную) систему функций можно считать аналогом ортогонального (ортонормированного) базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Как мы позднее убедимся, имеется класс функций, которые являются линейными комбинациями функций ортогональной (ортонормированной) системы, причем слагаемых в линейной комбинации может быть бесконечное число. Линейная комбинация с бесконечным числом слагаемых представляет собой ряд. Использование ряда как функции связано с вопросами сходимости этого ряда.

Рассмотрим разложение функции по тригонометрической системе функций (10).

1.4. Тригонометрический ряд Фурье

Определение. Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется разложение этой функции по тригонометрической системе функций (10), т.е. ряд

Определение. Числа — называются коэффициентами тригонометрического ряда Фурье [2] .

1) Интегрируя почленно ряд (14) будем иметь:

(равенство нулю интегралов показано ранее, при доказательстве ортогональности системы (10)). Отсюда находим

3) Аналогично, умножая ряд (14) на и почленно интегрируя, получим:

Таким образом, получили:

Найти ряд Фурье для функции – значит найти коэффициенты по формулам (15) и записать тригонометрический ряд (14) с этими коэффициентами [2].

1.4.1. Условия разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье

Если непрерывная (или кусочно-непрерывная) функция на монотонна или кусочно-монотонна, то в любой внутренней точке она имеет левый и правый предел, т.е. существуют

Теорема (Дирихле) . Пусть функция определена на и удовлетворяет на этом отрезке условиям:

непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода (т.е. кусочно-непрерывна);

монотонна или имеет конечное число точек экстремумов (т.е. кусочно-монотонна).

. То есть на границах отрезка функция равна среднему арифметическому левого предела функции в точке и правого предела функции в точке [9].

Условия 1) и 2) теоремы Дирихле называются условиями Дирихле.

1) определены для всех и, следовательно, тригонометрический ряд Фурье определен для всех ;

2) сумма тригонометрического ряда (14) является функцией периодической с периодом ;

3) во всех точках непрерывности функции на отрезке и, следовательно, и в остальных точках непрерывности функции (т.к. обе функции периодические с периодом ).

1.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл

Следовательно, если четная функция, то (т.е. график четной функции симметричен относительно оси и

Т.е. симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу по половинному промежутку интегрирования, а симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Отметим следующие два свойства четных и нечетных функций:

1) произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная;

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.

Следовательно, тригонометрический ряд Фурье на отрезке будет иметь вид

для четной функции:

для нечетной функции:

Ряд (16) не содержит синусов кратных углов, то есть в ряд Фурье четной функции входят только четные функции и свободный член. Ряд (17) не содержит косинусов кратных углов, то есть в ряд Фурье нечетной функции входят только нечетные функции [8].

Определение. Ряды
являются частями полного ряда Фурье и называются неполными тригонометрическими рядами Фурье.

Если функция разлагается в неполный тригонометрический ряд (16) (или (17)), то говорят, что она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (или по синусам).

1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на

Получившуюся в результате замены функцию можно разложить на в ряд Фурье:

Сделаем обратную замену ⇒ Получим

Ряд (18) – ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций

Таким образом, получили, что если функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (18) по тригонометрической системе функций (20) [8].

для нечетной функции

1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на

1) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке

2) Так как разложение функции на отрезке предполагает ее продолжение на отрезок произвольным образом, то и ряд Фурье для функции не будет единственным [3].

1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на произвольном отрезке длины и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле.

Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции можно найти по формулам

2. Практическое применение рядов Фурье

2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение

В тригонометрический ряд Фурье требуется разложить функцию, являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции. Для этого необходимо пользоваться алгоритмом разложения периодической функции в ряд Фурье.

Алгоритм разложения периодической функции в ряд Фурье:

1) Построить график заданной функции и ее периодического продолжения;

2) Установить период заданной функции;

3) Определить функция четная, нечетная или общего вида;

4) Проверить выполнимость условий теоремы Дирихле;

5) Составить формальную запись ряда Фурье, порожденного данной функцией;

6) Вычислить коэффициенты Фурье;

7) Записать ряд Фурье для заданной функции, используя коэффициенты ряда Фурье (п.4).

1) Построим график заданной функции и его периодическое продолжение.

Источник

Преобразование Фурье: самый подробный разбор

Преобразование Фурье – одно из базовых понятий в обработке сигналов и анализе данных. Но что оно означает? Геометрическая интерпретация.

Возьмём классическую задачу – работу со звуком. Теперь добавим конкретики.

Ваш друг приносит запись своего живого выступления. И это очень удачное выступление. Но! Хотя запись делали на хороший микрофон, в ней всё равно присутствует шум. Друг просит помочь убрать его или хотя бы уменьшить.

Здесь и пригодится знание преобразования Фурье.

Что такое звук в математическом смысле?

Отдельная нота – это гармонический сигнал с определённой частотой и амплитудой.

Как правило, мелодию, речь или иной звуковой сигнал можно представить как сумму гармонических сигналов. Шумом в таком случае мы называем слагаемые, соответствующие любым нежелательным звукам.

Преобразование Фурье позволяет разложить исходный сигнал на гармонические составляющие, что потребуется для выделения шумов.

Здесь g(t) – это исходный сигнал (в нашем случае запись друга). В контексте преобразования Фурье его называют оригиналом. G(f) – изображение по Фурье, а параметром f выступает частота.

Возможно, вам уже знакомо это определение. Но знаете ли вы, как происходит это преобразование? Если бы увидели его впервые, поняли бы, как с его помощью анализировать исходный сигнал?

Геометрическая интерпретация преобразования Фурье

Грант Сандерсон предлагает геометрический аналог преобразования Фурье. За несколько графических переходов от исходного сигнала к изображению каждая из компонент определения обретает смысл, а само преобразование получает новое геометрическое прочтение.

В дальнейшем обсуждении предполагается, что вы знакомы с векторами, интегрированием и понятием комплексного числа. Если каких-то знаний вам всё-таки не хватает, ознакомьтесь с материалами из нашей подборки по вузовской математике.

1. Наматываем сигнал

Отобразим g(t) на комплексную плоскость. Для этого введём радиус-вектор, который равномерно вращается по часовой стрелке. Его длина в каждый момент времени равна модулю значения сигнала, а частота вращения выбирается произвольным образом.

Теперь построим траекторию движения конца вектора, совершающего полный оборот за две секунды, или, другими словами, с частотой вращения f_В = 0.5 об/с.

Выглядит, будто мы намотали исходный сигнал на начало координат. В минимумах сигнала полученная «намотка» сливается с началом координат, а при приближении к максимумам – отклоняется.

Пока выглядит не особо информативно, не так ли?

А теперь увеличим частоты намотки.

Сначала график распределяется довольно симметрично относительно начала координат до частоты вращения f_В = 3 об/с. Затем максимумы резко смещаются в правую полуплоскость, а намотка перестаёт напоминать узор спирографа.

2. Ищем центр масс

Посмотрим внимательнее, что происходит. В качестве характеристики намотки возьмём усреднённое значение всех её точек – центр масс (отметим его оранжевым цветом).

Строим зависимость положения центра масс от частоты намотки. Сейчас нам достаточно рассмотреть х-кординату, но в дальнейшем для определения преобразования Фурье потребуются обе координаты.

Тогда что означает всплеск на низких частотах?

3. Анализируем влияние смещения

Возможно, вы обратили внимание, что рассматриваемый нами сигнал смещён на единицу. Сдвиг был введён для наглядности, но именно он приводит к усложнению поведения центра масс.

При нулевой частоте всё отображение сигнала на комплексной плоскости располагается на оси абсцисс. На малых частотах намотка по-прежнему группируется в правой полуплоскости.

Как только мы убираем сдвиг, т. е. берём сигнал вида g(t) = cos (6πt), намотка при низких частотах сдвигается влево по оси абсцисс.

Построение радиус-вектора остаётся аналогичным. Его длина равна модулю значения сигнала, направление вращения – положительное. Но при смене знака g(t) направление вектора меняется на противоположное.

Сейчас вы увидите, как меняется намотка и х-координата центра масс несмещённого сигнала.

Таким образом, на графике остался только один резкий скачок.

Это важный момент при использовании преобразования Фурье: линейный тренд и смещение проявляются на низких частотах, потому их исключают из исходного сигнала.

4. Выделяем частоты полигармонического сигнала

Мы наблюдаем два пика в точках f_В = 2 об/с и f_В = 3 об/с, что соответствует частотному составу исходной суммы.

Отметим ещё один интересный факт, верный как для х-координаты, так и для преобразования Фурье. Преобразование для суммы сигналов и сумма преобразований сигналов имеют один и тот же вид. Т. е. преобразование Фурье линейно.

Таким образом, этот подход позволяет определить частоту колебаний как моно-, так и полигармонического сигнала. Осталось математически описать процедуру вычисления центра масс намотки.

Вывод преобразования Фурье

В самом начале рассмотрения мы отобразили исходный сигнал на комплексную плоскость. Такой выбор не случаен – это позволяет рассматривать точки на плоскости как комплексные числа и использовать формулу Эйлера для описания намотки:

Геометрически это соотношение означает, что при любом φ точка e iφ на комплексной плоскости лежит на единичной окружности.

Построим радиус-вектор e iφ при разных значениях φ.

При изменении φ на 2π вектор проходит полный оборот против часовой стрелки, так как 2π – длина единичной окружности. Чтобы задать скорость вращения вектора, показатель степени домножаем на ft, а для смены направления вращения – на -1.

Теперь вычисляем центр масс. Для этого отметим N произвольных точек на графике намотки и вычислим среднее:

Если мы будем увеличивать количество рассматриваемых точек, придём к предельному случаю:

где t₁ и t₂ – границы интервала, на котором рассматривается сигнал.

Выражение перед интегралом представляет собой масштабирующий коэффициент, но не отражает поведение центра масс. Потому его можно отбросить.

Полученное выражение и будет являться преобразованием Фурье с той разницей, что в общем виде интегрирование задаётся на интервале от -∞ до +∞.

Такой переход к бесконечному интервалу означает, что мы не накладываем никаких ограничений на длительность рассматриваемого сигнала.

Применение преобразования Фурье для фильтрации

Теперь, говоря о преобразовании Фурье, вы можете представлять его геометрическую интерпретацию – намотку сигнала на комплексную плоскость и вычисление центр масс.

При этом частота намотки f становится входным параметром для изображения по Фурье. Центр масс выступает оценкой, насколько хорошо соотносится (коррелирует) параметр f с присутствующими в сигнале частотами.

После того, как вы найдёте в принесённой другом записи все частотные компоненты, вам останется только вычесть их из изображения и применить обратное преобразование Фурье.

Источник

Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана
Bauman National Library

Персональные инструменты

Ряд Фурье

Ряд Фурье — представление, к которому может быть приведена произвольная периодическая функция.

Обычно, говоря о рядах Фурье, имеют в виду его тригонометрическую или показательную форму.

Содержание

Вещественный ряд Фурье

Таким образом, дискретные спектры можно разделить на дискретные вещественные пространственно-частотные спектры (ПЧС) и дискретные вещественные частотно-временные спектры (ЧВС).

Пространственно-частотное представление входного двумерного сигнала в виде ряда смещенных по фазе косинусоидальных гармоник ( 1.2 ) <\displaystyle \color (1.2)\,\!> имеет физический смысл.

Тригонометрический ряд обычно используют для разложения периодических оптических, радио- и электрических сигналов, описываемых четными или нечетными функциями.

Комплексный ряд Фурье

При анализе оптических, радио- и электрических сигналов на практике удобно пользоваться рядом Фурье, заданным не в тригонометрической, а в комплексной экспоненциальной форме. Переход от тригонометрических рядов ( 1.1 ) <\displaystyle \color (1.1)\,\!> и ( 1.2 ) <\displaystyle \color (1.2)\,\!> к комплексному осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Они показывают, что при освещении косинусоидального или синусоидального транспаранта (дифракционной решетки) плоской нормально падающей волной с единичной амплитудой на его выходе формируются (дифрагируют) две плоские волны, распространяющиеся в плоскости xOz симметрично относительно оптической оси Oz (см. рис. 2.1).

Общее выражение для комплексного ряда Фурье имеет вид:

Многомерные ряды Фурье

Для многомерных сигналов также существует разложение в ряд Фурье как функций от нескольких аргументов. Для упрощения математических выкладок многомерные ряды Фурье записываются в комплексной форме.

Источник

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

(1)

Коэффициенты a_o,a_n и b_n называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) называется первой или основной гармоникой,

Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) или c₁sin(x+α₁) называется первой или основной гармоникой, (a₂cos2x+b₂sin2x) или c₂sin(2x+α₂) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a_o и a_n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Где коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Источник